Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
(e) f(x)=2 ln |x|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função f(x)=2ln|x|. Para isso vamos usar o conhecimento do gráfico básico de ln x, aplicar a escala vertical (fator 2) e lembrar que o valor absoluto em ln|x| cria um ramo para x>0 e um ramo simétrico para x<0.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas. Como ln|x| exige xneq0, o domínio é
(-infty,0)cup(0,infty)
Em x=0 aparece uma assíntota vertical, pois
limxto0^pm2ln|x|=-infty,
e quando xtopminfty temos
limxtopminfty2ln|x|=+infty

Passo 3

Calcular interceptos e ver simetria. Para achar onde f(x)=0,
2ln|x|=0;Longrightarrow;ln|x|=0;Longrightarrow;|x|=1,
logo os interceptos são (1,0) e (-1,0). Além disso
f(-x)=2ln|-x|=2ln|x|=f(x),
ou seja, o gráfico é par e simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Marcar pontos adicionais para orientar a forma da curva. Por exemplo:
f(2)=2ln2, fl(tfrac12r)=2lnl(tfrac12r)=-2ln2
Esses pontos mostram que o ramo para x>0 cresce lentamente para +infty e desce para -infty ao se aproximar de 0. O ramo para x<0 é o espelho em y.

Passo 5

Desenhar o esboço unindo todos esses elementos:
  • Em x>0, traçar a curva de 2ln x, com assíntota vertical em x=0, passando por (1,0), crescendo até +infty.
  • Em x<0, traçar o espelho preciso em relação ao eixo y.
  • Marcar os pontos (2,2ln2) e (tfrac12,-2ln2) e seus correspondentes negativos.

Resposta

O gráfico de f(x)=2ln|x| consiste em dois ramos idênticos (um para x>0 e outro espelhado para x<0), com assíntota vertical em x=0 e interceptos em (1,0) e (-1,0). Cada ramo é a função y=2ln x (para x>0) estendida simetricamente para x<0.

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