Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
.
(b)
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A função que vamos analisar é
. A matéria que precisamos usar inclui cálculo, especificamente análise de funções exponenciais. Vamos precisar determinar domínio, crescimento, concavidade, assíntotas e raízes dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como temos funções exponenciais
e
, e as exponenciais estão definidas para todos os números reais, o domínio de
também é todos os números reais.
Domínio:
ou
Passo 3
Agora, vamos analisar o crescimento da função. Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada
e identificar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente). Além disso, vamos encontrar os pontos críticos onde
e classificar esses pontos.
Primeiro, calculamos
:
Agora, igualamos
a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver essa equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Então,
Agora, vamos classificar esse ponto usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada ao redor de
. Para simplificação, observando a derivada:
- Para
, (função crescente) - Para
, (função decrescente)
Assim,
é um ponto de máximo.
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos analisar a concavidade da função, ou seja, determinar se ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada
e identificar onde ela é positiva (côncava para cima) ou negativa (côncava para baixo). Também vamos encontrar os pontos de inflexão onde
.
Calculando a segunda derivada:
Agora, igualamos
a zero para encontrar os pontos de inflexão:
Dividindo ambos os lados por
:
Então,
Vamos analisar os sinais de
:
- Para
, (concava para cima) - Para
, (concava para baixo)
Portanto,
é um ponto de inflexão. Calculando
:
Passo 5
Vamos determinar as assíntotas da função.
-
Assíntotas verticais: São retas verticais que a função se aproxima, mas não toca. No nosso caso, funções exponenciais não possuem assíntotas verticais, pois estão definidas para todos os
. -
Assíntotas horizontais: São limites da função quando
tende a ou .
Calculando:
O limite quando
tende a
não existe de forma finita, então a única assíntota horizontal é
(quando
tende a
).
- Assíntotas oblíquas: São linhas do tipo
que a função se aproxima quando tende a . Como nossa função tende a 0 quando e não possui comportamento linear para , não há assíntotas oblíquas.
Assíntotas:
- Horizontal:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
.
Resolvendo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a raiz da função é
.
Resposta
A função
tem domínio
, atinge um máximo em
com
, possui um ponto de inflexão em
com
, tem uma assíntota horizontal em
e cruza o eixo
na origem (
). O gráfico da função é côncavo para cima antes de
e côncavo para baixo após esse ponto, aumentando até
e depois decrescendo.