Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de f.
(b) f(x)=e^-x-e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A função que vamos analisar é . A matéria que precisamos usar inclui cálculo, especificamente análise de funções exponenciais. Vamos precisar determinar domínio, crescimento, concavidade, assíntotas e raízes dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Como temos funções exponenciais e , e as exponenciais estão definidas para todos os números reais, o domínio de também é todos os números reais.
Domínio: ou

Passo 3

Agora, vamos analisar o crescimento da função. Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada f'(x) = ddx(e^-x - e^-2x) = -e^-x + 2e^-2x e identificar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente). Além disso, vamos encontrar os pontos críticos onde -e^-x + 2e^-2x = 0 e classificar esses pontos.
Primeiro, calculamos -e^-x + 2e^-2x = 0 Rightarrow e^-x = 2e^-2x :
e^x = 2
Agora, igualamos x = ln 2 a zero para encontrar os pontos críticos:
f(ln 2) = e^-ln 2 - e^-2ln 2 = 12 - 14 = 14
Vamos resolver essa equação:
Dividindo ambos os lados por :
Então,
Agora, vamos classificar esse ponto usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada ao redor de . Para simplificação, observando a derivada:
  • Para , (função crescente)
  • Para , (função decrescente)
Assim, é um ponto de máximo.
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos analisar a concavidade da função, ou seja, determinar se ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada f''(x) = ddx(-e^-x + 2e^-2x) = e^-x - 4e^-2x e identificar onde ela é positiva (côncava para cima) ou negativa (côncava para baixo). Também vamos encontrar os pontos de inflexão onde e^-x - 4e^-2x = 0 Rightarrow e^-x = 4e^-2x .
Calculando a segunda derivada:
e^x = 4
Agora, igualamos x = ln 4 a zero para encontrar os pontos de inflexão:
f(ln 4) = e^-ln 4 - e^-2ln 4 = 14 - 116 = 316
Dividindo ambos os lados por :
Então,
Vamos analisar os sinais de :
  • Para , (concava para cima)
  • Para , (concava para baixo)
Portanto, é um ponto de inflexão. Calculando :

Passo 5

Vamos determinar as assíntotas da função.
  • Assíntotas verticais: São retas verticais que a função se aproxima, mas não toca. No nosso caso, funções exponenciais não possuem assíntotas verticais, pois estão definidas para todos os limx to +infty f(x) = limx to +infty (e^-x - e^-2x) = 0 - 0 = 0 .
  • Assíntotas horizontais: São limites da função quando limx to -infty f(x) = limx to -infty (e^-x - e^-2x) = +infty - +infty tende a ou .
Calculando:
O limite quando tende a não existe de forma finita, então a única assíntota horizontal é (quando tende a ).
  • Assíntotas oblíquas: São linhas do tipo que a função se aproxima quando tende a . Como nossa função tende a 0 quando e não possui comportamento linear para , não há assíntotas oblíquas.
Assíntotas:
  • Horizontal:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de e^-x - e^-2x = 0 Rightarrow e^-x = e^-2x que fazem e^x = 1 Rightarrow x = 0 .
Resolvendo :
Dividindo ambos os lados por :
Então, a raiz da função é .

Resposta

A função tem domínio , atinge um máximo em com , possui um ponto de inflexão em com , tem uma assíntota horizontal em e cruza o eixo na origem ( ). O gráfico da função é côncavo para cima antes de e côncavo para baixo após esse ponto, aumentando até e depois decrescendo.

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