Sendo g(x)=x^22-54 x^2+3 raizx e g^prime(x) a derivada da função g(x), então:
g^prime(1)=8
Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g(x)=x^22-54x^2+3raizx e avaliar em x=1, verificando se realmente g'(1)=8. O conteúdo principal aqui é derivação de soma de funções potenciais e de raiz, usando a regra do poder e a constante multiplicativa.

Passo 2

Vamos derivar cada termo separadamente, aplicando a regra do poder ddx[x^n]=n,x^n-1 e a regra da constante:\
  • ddxl(tfracx^22r)=tfrac2,x2=x
  • ddxl(-tfrac54x^-2r)=-tfrac54cdot(-2)x^-3=tfrac52x^-3
  • ddxl(3x^tfrac12r)=3cdottfrac12x^-tfrac12=tfrac32x^-tfrac12

Passo 3

Agora podemos escrever a derivada completa em bloco:
g'(x)=x+52x^-3+32x^-tfrac12

Passo 4

Para x=1, substituímos na expressão de g'(x):
g'(1)=1+52cdot1^-3+32cdot1^-tfrac12=1+52+32=1+2,5+1,5=5

Passo 5

Como obtivemos g'(1)=5 e não 8, concluímos que a afirmação g'(1)=8 é falsa.

Resposta

g'(1)=5, portanto a afirmação g'(1)=8 é falsa.

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