Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
- Explicite o domínio da função.
- Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
- Determine o valor de
se existir.
- Localize, se possível, as raízes de
.
- Calcule os limites de
para
e
.
- Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
- Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
- Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
- Calcule os limites laterais de
nos pontos
tais que
não é contínua em
ou se
não estiver definida, mas
for um extremo do domínio de
.
- Determine as assíntotas.
Passo 1
Vamos analisar a função
passo a passo, usando conceitos de funções exponenciais, derivadas e concavidade para montar o esboço do gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio, simetria e periodicidade: o termo
e
estão definidos para todo
, então o domínio é
. Não há simetria par nem ímpar (não satisfaz
nem
) e também não é periódica.
Passo 3
Calcular
e encontrar raízes:
-
. - Para
temos . Como , impõe-se ⇒ ⇒ . A única raiz é .
Passo 4
Estudar os limites no infinito:
-
e , então . - Para
temos e , mas cresce mais rápido, então .
Passo 5
Analisar monotonicidade com a derivada:
-
. - Colocando em evidência
: . Como sempre, o sinal vem de . -
para (isto é, ) e para . Logo, cresce em e decresce em .
Passo 6
Localizar pontos críticos e extremos:
- A única solução de
é . Avaliando . - Como a função passa de crescente a decrescente em
, temos um máximo local (e global) em . Não há mínimos locais finitos.
Passo 7
Estudar concavidade e pontos de inflexão:
- Calcular a segunda derivada:
- A raiz deocorre em ⇒ . Para , ⇒ (côncava para baixo). Para , (côncava para cima).
- O ponto de inflexão écom
Passo 8
Verificar continuidade e limites laterais:
-
é combinação de funções exponenciais, portanto contínua em todo . Não há pontos de descontinuidade nem limites laterais a calcular.
Passo 9
Determinar assíntotas:
- Em
, , logo há assíntota horizontal . - Não há assíntotas verticais (domínio inteiro) nem oblíquas.
- Esboço qualitativo: curva parte de
em , cresce até o máximo em , inflecte em , depois decresce aproximando-se de conforme .
Resposta
O gráfico parte de
quando
, cresce até o máximo em
, muda de concavidade (inflexão) em
e depois decresce se aproximando da assíntota horizontal
quando
.