Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
  • Explicite o domínio da função.
  • Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
  • Determine o valor de f(0) se existir.
  • Localize, se possível, as raízes de f.
  • Calcule os limites de f para x +infty e x -infty.
  • Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
  • Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
  • Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
  • Calcule os limites laterais de f nos pontos p tais que f não é contínua em p ou se f(p) não estiver definida, mas p for um extremo do domínio de f.
  • Determine as assíntotas.
    (b) f(x)=e^-x-e^-2 x

Passo 1

Vamos analisar a função f(x)=e^-x-e^-2x passo a passo, usando conceitos de funções exponenciais, derivadas e concavidade para montar o esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio, simetria e periodicidade: o termo e^-x e e^-2x estão definidos para todo xin R, então o domínio é R. Não há simetria par nem ímpar (não satisfaz f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x)) e também não é periódica.

Passo 3

Calcular f(0) e encontrar raízes:
  • f(0)=e^0-e^0=1-1=0.
  • Para f(x)=0 temos e^-x(1-e^-x)=0. Como e^-xneq0, impõe-se 1-e^-x=0 e^-x=1 x=0. A única raiz é x=0.

Passo 4

Estudar os limites no infinito:
  • limxto+inftye^-x=0 e limxto+inftye^-2x=0, então limxto+inftyf(x)=0.
  • Para xto-infty temos e^-xto+infty e e^-2xto+infty, mas e^-2x cresce mais rápido, então f(x)sim -e^-2xto-infty.

Passo 5

Analisar monotonicidade com a derivada:
  • f'(x)=ddx(e^-x)-ddx(e^-2x) = -e^-x +2e^-2x.
  • Colocando em evidência e^-2x: f'(x)=e^-2x(2-e^x). Como e^-2x>0 sempre, o sinal vem de 2-e^x.
  • f'(x)>0 para e^x<2 (isto é, x) e f'(x)<0 para x>ln2. Logo, cresce em ( -infty,ln2) e decresce em (ln2,+infty).

Passo 6

Localizar pontos críticos e extremos:
  • A única solução de f'(x)=0 é x=ln2. Avaliando f(ln2)=e^-ln2-e^-2ln2=tfrac12-tfrac14=tfrac14.
  • Como a função passa de crescente a decrescente em x=ln2, temos um máximo local (e global) em (ln2,tfrac14). Não há mínimos locais finitos.

Passo 7

Estudar concavidade e pontos de inflexão:
  • Calcular a segunda derivada: f''(x)=ddxl(-e^-x+2e^-2xr)=e^-x-4e^-2x = e^-2x(e^x-4)
    - A raiz de f''(x)=0 ocorre em e^x=4 x=ln4. Para x, e^x<4 f''(x)<0 (côncava para baixo). Para x>ln4, f''(x)>0 (côncava para cima).
    - O ponto de inflexão é l(ln4,,f(ln4)r) com f(ln4)=e^-ln4-e^-2ln4=tfrac14-tfrac116=tfrac316

Passo 8

Verificar continuidade e limites laterais:
  • f é combinação de funções exponenciais, portanto contínua em todo R. Não há pontos de descontinuidade nem limites laterais a calcular.

Passo 9

Determinar assíntotas:
  • Em xto+infty, f(x)to0, logo há assíntota horizontal y=0.
  • Não há assíntotas verticais (domínio inteiro) nem oblíquas.
  • Esboço qualitativo: curva parte de -infty em xto-infty, cresce até o máximo em (ln2,tfrac14), inflecte em (ln4,tfrac316), depois decresce aproximando-se de y=0 conforme xto+infty.

Resposta

O gráfico parte de f(x)to-infty quando xto-infty, cresce até o máximo em (ln2,tfrac14), muda de concavidade (inflexão) em (ln4,tfrac316) e depois decresce se aproximando da assíntota horizontal y=0 quando xto+infty.

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