Resolva as equações seguintes usando o método do fator integrante:
y^prime+y=e^3 x, x in(-infty, infty)

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO linear de 1ª ordem y' + y = e^3x usando o método do fator integrante. Vamos precisar reconhecer que é uma equação na forma y' + P(x)y = Q(x) com P(x)=1 e Q(x)=e^3x, e aplicar o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx.

Passo 2

Calcular o fator integrante. Como P(x)=1, temos
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicar toda a equação original por mu(x)=e^x. Assim:
$$e^x y

Passo 4

Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto e^x y. Ou seja,
ddxl(e^x yr)=e^4x

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^x y = integral e^4x,dx = e^4x4 + C,

Passo 6

Isolar y dividindo por e^x:
y = e^-xl(e^4x4 + Cr) = e^3x4 + C e^-x

Resposta

y(x)=C e^-x + tfrace^3x4, em que C é constante de integração.

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