Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
  • Explicite o domínio da função.
  • Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
  • Determine o valor de f(0) se existir.
  • Localize, se possível, as raízes de f.
  • Calcule os limites de f para x +infty e x -infty.
  • Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
  • Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
  • Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
  • Calcule os limites laterais de f nos pontos p tais que f não é contínua em p ou se f(p) não estiver definida, mas p for um extremo do domínio de f.
  • Determine as assíntotas.
    (c) f(x)=raiz[3]x^2-x^3

Passo 1

A função dada é f(x)=raiz[3]x^2 - x^3. O conteúdo envolve análise completa de funções reais: domínio, simetria, valores notáveis, limites, derivadas, concavidade, pontos críticos e assíntotas.

Passo 2

Domínio: como a raiz cúbica aceita qualquer real, o domínio é
R
Não há periodicidade. Para simetria, calculamos
f(-x)=raiz[3](-x)^2 - (-x)^3=raiz[3]x^2 + x^3neq f(x) e neq -f(x),
logo não é par nem ímpar.

Passo 3

Valor em zero e raízes: temos
f(0)=raiz[3]0-0=0
As raízes vêm de x^2 - x^3 = x^2(1-x)=0, isto é, x=0 (dupla) e x=1.

Passo 4

Limites no infinito: para xto+infty, o termo dominante é -x^3, então
f(x)simraiz[3]-x^3=-xto-infty
Para xto-infty, x^2(1-x)to+infty, logo
f(x)to+infty

Passo 5

Monotonicidade: derivamos f(x)=h(x)^1/3 com h(x)=x^2-x^3. Obtém-se
f'(x)=2x-3x^23l(x^2-x^3r)^2/3=x(2-3x)3l(x^2(1-x)r)^2/3
O sinal de f' é:
  • x<0: negativo (decrecente).
  • 0: positivo (crescente).
  • x>2/3: negativo (decrecente).
    Assim, cresce em (0,2/3) e decresce em (−infty,0)cup(2/3,+infty).

Passo 6

Pontos críticos e extremos: pontos onde f'=0 ou indefinido são x=0,2/3,1. Em x=0 há mínimo local (decrecente→crescente) com valor f(0)=0. Em x=2/3 há máximo local. Calculamos
fl(2/3r)=raiz[3]49-827=raiz[3]427=raiz[3]43
Em x=1 não há extremum (sinal de f' não muda).

Passo 7

Concavidade e ponto de inflexão: calcula-se
f''(x)=-29,x^4/3(1-x)^5/3
O denominador troca de sinal em x=1, portanto:
  • Concavidade para baixo em (−infty,1).
  • Concavidade para cima em (1,+infty).
    Há ponto de inflexão em x=1, f(1)=0.

Passo 8

Limites laterais e assíntotas: não há pontos de descontinuidade nem assíntotas verticais ou horizontais além dos limites no infinito já calculados. O gráfico tem tangentes verticais em x=0 e x=1.

Resposta

O gráfico de f(x)=raiz[3]x^2-x^3 tipo raiz cúbica de polinômio tem: domínio R, cai de +∞ até mínimo em (0,0), sobe até máximo em (tfrac23,tfracraiz[3]43), cai atravessando (1,0) (ponto de inflexão) e segue decrescendo para −∞; é côncavo para baixo até x=1, depois côncavo para cima; tangentes verticais em x=0,1.

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