Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
- Explicite o domínio da função.
- Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
- Determine o valor de
se existir.
- Localize, se possível, as raízes de
.
- Calcule os limites de
para
e
.
- Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
- Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
- Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
- Calcule os limites laterais de
nos pontos
tais que
não é contínua em
ou se
não estiver definida, mas
for um extremo do domínio de
.
- Determine as assíntotas.
Passo 1
A função dada é
. O conteúdo envolve análise completa de funções reais: domínio, simetria, valores notáveis, limites, derivadas, concavidade, pontos críticos e assíntotas.
Passo 2
Domínio: como a raiz cúbica aceita qualquer real, o domínio é
Não há periodicidade. Para simetria, calculamos
logo não é par nem ímpar.
Passo 3
Valor em zero e raízes: temos
As raízes vêm de
, isto é,
(dupla) e
.
Passo 4
Limites no infinito: para
, o termo dominante é
, então
Para
,
, logo
Passo 5
Monotonicidade: derivamos
com
. Obtém-se
O sinal de
é:
-
: negativo (decrecente). -
: positivo (crescente). -
: negativo (decrecente).
Assim, cresce eme decresce em .
Passo 6
Pontos críticos e extremos: pontos onde
ou indefinido são
. Em
há mínimo local (decrecente→crescente) com valor
. Em
há máximo local. Calculamos
Em
não há extremum (sinal de
não muda).
Passo 7
Concavidade e ponto de inflexão: calcula-se
O denominador troca de sinal em
, portanto:
- Concavidade para baixo em
. - Concavidade para cima em
.
Há ponto de inflexão em, .
Passo 8
Limites laterais e assíntotas: não há pontos de descontinuidade nem assíntotas verticais ou horizontais além dos limites no infinito já calculados. O gráfico tem tangentes verticais em
e
.
Resposta
O gráfico de
tipo raiz cúbica de polinômio tem: domínio
, cai de +∞ até mínimo em (0,0), sobe até máximo em
, cai atravessando (1,0) (ponto de inflexão) e segue decrescendo para −∞; é côncavo para baixo até x=1, depois côncavo para cima; tangentes verticais em x=0,1.