Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação do calor:
com as condições de contorno $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, além da condição inicial
Para resolver, vamos separar as variáveis e encontrar soluções que atendam essas condições.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções de $ x $ e $ t $:
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por $ \alpha^2 X(x)T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 3
Isso nos dá duas equações separadas:
Vamos resolver cada uma delas.
Passo 4
Começando com a equação espacial:
Com as condições de contorno $ X(0) = 0 $ e $ X(L) = 0 $. As soluções não triviais existem quando $ \lambda = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 $, onde $ n $ é um inteiro positivo.
Passo 5
Assim, as funções próprias são:
para $ n = 1, 2, 3, \dots $
Passo 6
Agora resolvemos a equação temporal:
Sua solução é:
Passo 7
A solução geral é uma combinação das soluções próprias:
Onde $ B_n $ são constantes que determinam a contribuição de cada modo.
Passo 8
Usamos a condição inicial para encontrar os coeficientes $ B_n $:
Comparando com a série geral, vemos que:
E todos os outros $ B_n = 0 $.
Resposta
A solução da equação é: