Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=alpha^2 ux x u(0, t)=0, u(L, t)=0 u(x, 0)=3 sen pi xL+2 sen 3 pi xL

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação do calor:
ut = alpha^2 uxx
com as condições de contorno $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, além da condição inicial
u(0, t) = 0
Para resolver, vamos separar as variáveis e encontrar soluções que atendam essas condições.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções de $ x $ e $ t $:
x
Substituindo na equação do calor:
t
Dividindo ambos os lados por $ \alpha^2 X(x)T(t) $:
u(x, t) = X(x)T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 3

Isso nos dá duas equações separadas:
T'(t) + alpha^2 lambda T(t) = 0
X''(x) + lambda X(x) = 0
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 4

Começando com a equação espacial:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Com as condições de contorno $ X(0) = 0 $ e $ X(L) = 0 $. As soluções não triviais existem quando $ \lambda = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 $, onde $ n $ é um inteiro positivo.

Passo 5

Assim, as funções próprias são:
Xn(x) = sin(npi xL)
para $ n = 1, 2, 3, \dots $

Passo 6

Agora resolvemos a equação temporal:
Tn'(t) + alpha^2 (npiL)^2 Tn(t) = 0
Sua solução é:
Tn(t) = e^-alpha^2 (npiL)^2 t

Passo 7

A solução geral é uma combinação das soluções próprias:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) e^-alpha^2 (npiL)^2 t
Onde $ B_n $ são constantes que determinam a contribuição de cada modo.

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar os coeficientes $ B_n $:
Bn
Comparando com a série geral, vemos que:
u(x, 0) = 3 sin(pi xL) + 2 sin(3pi xL)
E todos os outros $ B_n = 0 $.

Resposta

A solução da equação é:
u(x, t) = 3 sin(pi xL) e^-alpha^2 (piL)^2 t + 2 sin(3pi xL) e^-alpha^2 (3piL)^2 t

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