Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=x^3-6 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^3-6x
O conteúdo aqui é o estudo de funções polinomiais de grau 3: vamos usar domínio, interceptos com eixos, derivada para monotonia e extremos locais, segunda derivada para concavidade e comportamento nas extremidades para montar o esboço.

Passo 2

Domínio e continuidade:
A função f(x)=x^3-6x é um polinômio, logo está definida e é contínua para todo xinR.

Passo 3

Interceptos:
– Intercepto com o eixo y: basta x=0, logo
f(0)=0^3-6cdot0=0,
ou seja, passa por (0,0).
– Interceptos com o eixo x: resolver f(x)=0:
x^3-6x= x,(x^2-6)=0 Longrightarrow x=0,;;x=pmraiz6
Portanto os zeros são l(-raiz6,0r), (0,0) e l(raiz6,0r).

Passo 4

Estudo da derivada primeira para monotonia e extremos locais:
f'(x)=ddxl(x^3-6xr)=3x^2-6=3(x^2-2)
Zerando f'(x)=0 obtemos
x^2-2=0 Longrightarrow x=pmraiz2
Avaliaremos f nesses pontos:
f(raiz2)=(raiz2)^3-6raiz2=2raiz2-6raiz2=-4raiz2,
f(-raiz2)=(-raiz2)^3-6(-raiz2)=-2raiz2+6raiz2=4raiz2
Sinal de f'(x):
– Para x<-raiz2, x^2>2 Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
– Para -raiz2<x<raiz2, x^2<2 Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
– Para x>raiz2, x^2>2 Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
Logo há um máximo local em l(-raiz2,4raiz2r) e um mínimo local em l(raiz2,-4raiz2r).

Passo 5

Estudo da derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=ddxl(3x^2-6r)=6x
f''(x)<0 se x<0: concavidade para baixo.
f''(x)>0 se x>0: concavidade para cima.
Em x=0 ocorre ponto de inflexão, que coincide com o intercepto (0,0).

Passo 6

Comportamento nas extremidades:
limxto-inftyf(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=+infty
Agora podemos montar o esboço:
1. De -infty a -raiz2 a curva sobe (crescente, concava para baixo) até o máximo em l(-raiz2,4raiz2r).
2. De -raiz2 a raiz2 a curva desce (decrescente), mudando concavidade em x=0, passando em (0,0).
3. De raiz2 em diante a curva sobe (crescente, concava para cima), passando pelo mínimo em l(raiz2,-4raiz2r) e cruzando o eixo x em l(raiz6,0r).

Resposta

O gráfico de f(x)=x^3-6x é uma cúbica com:
– zeros em x=-raiz6,0,raiz6;
– máximo local em l(-raiz2,4raiz2r);
– mínimo local em l(raiz2,-4raiz2r);
– ponto de inflexão em (0,0);
– cresce para x<-raiz2, decresce para -raiz2<x<raiz2 e cresce para x>raiz2;
– concavidade muda de para baixo ( x<0) para cima ( x>0).
Esse conjunto de informações permite esboçar a forma típica de uma cúbica com um “vale” e uma “colina” nas posições indicadas.

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