Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo aqui é o estudo de funções polinomiais de grau
: vamos usar domínio, interceptos com eixos, derivada para monotonia e extremos locais, segunda derivada para concavidade e comportamento nas extremidades para montar o esboço.
Passo 2
Domínio e continuidade:
A função é um polinômio, logo está definida e é contínua para todo
.
A função
Passo 3
Interceptos:
– Intercepto com o eixo : basta
, logo
– Intercepto com o eixo
ou seja, passa por
.
– Interceptos com o eixo : resolver
:
– Interceptos com o eixo
Portanto os zeros são
,
e
.
Passo 4
Estudo da derivada primeira para monotonia e extremos locais:
Zerando
obtemos
Avaliaremos
nesses pontos:
Sinal de
:
– Para ,
(crescente).
– Para ,
(decrescente).
– Para ,
(crescente).
Logo há um máximo local em e um mínimo local em
.
– Para
– Para
– Para
Logo há um máximo local em
Passo 5
Estudo da derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
–
se
: concavidade para baixo.
– se
: concavidade para cima.
Em ocorre ponto de inflexão, que coincide com o intercepto
.
–
Em
Passo 6
Comportamento nas extremidades:
Agora podemos montar o esboço:
. De
a
a curva sobe (crescente, concava para baixo) até o máximo em
.
. De
a
a curva desce (decrescente), mudando concavidade em
, passando em
.
. De
em diante a curva sobe (crescente, concava para cima), passando pelo mínimo em
e cruzando o eixo
em
.
Resposta
O gráfico de
é uma cúbica com:
– zeros em ;
– máximo local em ;
– mínimo local em ;
– ponto de inflexão em ;
– cresce para , decresce para
e cresce para
;
– concavidade muda de para baixo ( ) para cima (
).
– zeros em
– máximo local em
– mínimo local em
– ponto de inflexão em
– cresce para
– concavidade muda de para baixo (
Esse conjunto de informações permite esboçar a forma típica de uma cúbica com um “vale” e uma “colina” nas posições indicadas.