Esboce o gráfico da cada uma das seguintes funções
f_{4}(x)=\frac{e^{1 / x}}{x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função \,f_{4}(x)=\dfrac{e^{1/x}}{x}\,.
Informações dadas (que vamos usar):
  • A função é \;f(x)=\dfrac{e^{1/x}}{x}\;.
  • O domínio natural deve ser determinado (note que há x no denominador e 1/x no expoente).
  • Precisamos analisar limites (próximo de pontos problemáticos e no infinito), sinais, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, pontos críticos e pontos de inflexão — tudo isso serve para montar o esboço.
(O próximo passo começa a calcular essas coisas; aqui só identifiquei o pedido e os dados.)

Passo 2

Domínio e sinal da função.
  • A expressão \dfrac{e^{1/x}}{x} exige x\neq 0 (divisão por zero proibida). Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=(-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Como e^{1/x}>0 para todo x (a exponencial é sempre positiva), o sinal de f é o mesmo do sinal de 1/x. Logo:
    • f(x)>0 se x>0;
    • f(x)<0 se x<0.
      Assim, o gráfico está acima do eixo x para x>0 e abaixo do eixo x para x<0.

Passo 3

Limites na vizinhança de x=0 (comportamento próximo ao ponto onde a função não está definida).
  • Para x\to0^{+}: temos 1/x\to+\infty, então e^{1/x}\to+\infty. Como também x\to0^{+}, o quociente
\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{e^{1/x}}{x}=+\infty.
Portanto, à direita de 0 a função explode para +\infty.
  • Para x\to0^{-}: temos 1/x\to-\infty, então e^{1/x}\to0^{+}. O denominador x\to0^{-} é negativo pequeno, então
\lim_{x\to0^{-}}\dfrac{e^{1/x}}{x}=0^{-}.
Isto é, à esquerda de 0 a função tende a 0 vindo de valores negativos (aproxima-se do eixo x por baixo).
Conclusão: em x=0 há comportamentos distintos dos dois lados: à direita \to+\infty, à esquerda \to0^{-}.

Passo 4

Limites quando x\to\pm\infty (comportamento nas “caudas”).
  • Para x\to+\infty: 1/x\to0^{+} então e^{1/x}\to e^{0}=1. Assim
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{1/x}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+o(1)}{x}=0^{+}.
  • Para x\to-\infty: 1/x\to0^{-} então e^{1/x}\to1 também, e como x é negativo grande,
\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^{1/x}}{x}=0^{-}.
Portanto, y=0 é assíntota horizontal para ambas as caudas (o gráfico aproxima-se do eixo x por cima para x\to+\infty e por baixo para x\to-\infty).

Passo 5

Interceptos e zeros.
  • Não há intercepto em x=0 porque x=0 não pertence ao domínio.
  • Para achar zeros, resolver \dfrac{e^{1/x}}{x}=0. Como e^{1/x}>0 nunca anula, a função não tem zeros. Confirma com o sinal: positiva para x>0, negativa para x<0.

Passo 6

Cálculo da primeira derivada (aqui explico as regras usadas).
Vamos escrever \;f(x)=e^{1/x}\cdot x^{-1}.
Regras que usamos:
  • Derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Agora calculemos passo a passo.
  • Derivada de e^{1/x} é e^{1/x}\cdot\bigl(1/x\bigr)'. E \bigl(1/x\bigr)'=-1/x^{2}. Logo
\frac{d}{dx}e^{1/x}=e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
  • Derivada de x^{-1} é -x^{-2}=-1/x^{2}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=\left(e^{1/x}\right)'\cdot x^{-1}+e^{1/x}\cdot\left(x^{-1}\right)' = e^{1/x}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x}+e^{1/x}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
Simplificando:
f'(x)=-e^{1/x}\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\right) =-e^{1/x}\frac{1+x}{x^{3}}.
Observação: e^{1/x}>0 sempre, então o sinal de f' é o sinal de -\dfrac{1+x}{x^{3}}.

Passo 7

Monotonicidade e pontos críticos (usando f').
  • Pontos críticos internos ao domínio ocorrem quando f'(x)=0 ou f' indefinida (mas f' só é indefinida em x=0, que já não está no domínio). Como e^{1/x}\neq 0, a equação f'(x)=0 equivale a 1+x=0, ou seja
x=-1
é o único ponto crítico.
  • Analisando o sinal de f'. Observe f'(x)=-e^{1/x}\dfrac{1+x}{x^{3}}. O fator -e^{1/x} é sempre negativo, então basta estudar o sinal de \dfrac{1+x}{x^{3}}.
Fazendo quadro rápido:
  • Para x<-1: 1+x<0 e x^{3}<0 (1+x)/x^{3}>0 f'(x)<0. Portanto f é decrescente em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<0: 1+x>0 e x^{3}<0 (1+x)/x^{3}<0 f'(x)>0. Portanto f é crescente em (-1,0).
  • Para x>0: 1+x>0 e x^{3}>0 (1+x)/x^{3}>0 f'(x)<0. Portanto f é decrescente em (0,\infty).
Conclusão sobre x=-1: a função decresce até x=-1 e cresce depois (no intervalo negativo), então x=-1 é um ponto de mínimo local. Não há máximos críticos no domínio.

Passo 8

Valor no ponto crítico e interpretação.
  • Calculamos o valor em x=-1:
f(-1)=\dfrac{e^{1/(-1)}}{-1}=\dfrac{e^{-1}}{-1}=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}\approx -0{,}3679.
Esse é o mínimo local. Observando limites (passos anteriores), para x\to0^{-} a função tende a 0^{-} e para x\to-\infty tende a 0^{-}; portanto esse mínimo em -1/e é, na verdade, o mínimo global (menor valor atingido pela função) na parte negativa do domínio.

Passo 9

Cálculo da segunda derivada (explicando as regras).
Partimos de f'(x)=-e^{1/x}\dfrac{1+x}{x^{3}}. Para simplificar o cálculo, defina h(x)=\dfrac{1+x}{x^{3}}=\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{2}}. Usamos regra do produto e derivados já conhecidos.
  • Primeiro calcule h'(x). Como h(x)=x^{-3}+x^{-2},
h'(x)=-3x^{-4}-2x^{-3}=-\dfrac{3+2x}{x^{4}}.
  • Agora derive f'(x)=-e^{1/x}\,h(x). Usando produto:
f''(x)=-\left(e^{1/x}\right)'\,h(x)-e^{1/x}\,h'(x).
Lembrando que \left(e^{1/x}\right)'=e^{1/x}\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right), temos
f''(x)=-\left[e^{1/x}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)\right]h(x)-e^{1/x}h'(x) = e^{1/x}\left(\frac{1}{x^{2}}h(x)-h'(x)\right).
  • Substituindo h e h' e simplificando (faça assim no rascunho):
\frac{1}{x^{2}}h(x)-h'(x)=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\right)+\frac{3+2x}{x^{4}} =\frac{1}{x^{5}}+\frac{1}{x^{4}}+\frac{3+2x}{x^{4}}=\frac{1+4x+2x^{2}}{x^{5}}.
Portanto
f''(x)=e^{1/x}\frac{1+4x+2x^{2}}{x^{5}}.
Observação: e^{1/x}>0, então o sinal de f'' é o sinal do polinômio/número \dfrac{1+4x+2x^{2}}{x^{5}}.

Passo 10

Concavidade e pontos de inflexão.
  • Pontos de inflexão são onde f''(x)=0 (numerador zero) ou mudança de sinal. Como x\neq0, resolvemos
1+4x+2x^{2}=0.
É uma quadrática; resolvendo:
x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{4}=\frac{-4\pm2\sqrt{2}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{2}}{2}.
Números aproximados:
x\approx -1{,}7071\quad\text{e}\quad x\approx -0{,}2929.
  • Analisando o sinal de f'' por intervalos (lembre que x^{5} muda de sinal em x=0):
    • Para x>0: x^{5}>0 e 1+4x+2x^{2}>0 (para x>0 claramente positivo), então f''(x)>0. Logo, para x>0 a função é concava para cima.
    • Para x<0: o sinal de f'' é oposto ao sinal de 1+4x+2x^{2} porque x^{5}<0. Assim:
      • Em (-\infty,-1{,}7071): 1+4x+2x^{2}>0 f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
      • Em (-1{,}7071,-0{,}2929): 1+4x+2x^{2}<0 f''>0 ⇒ concavidade para cima.
      • Em (-0{,}2929,0): 1+4x+2x^{2}>0 f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
Portanto há dois pontos de inflexão nos valores de x encontrados (ambos negativos). O gráfico muda concavidade nestes pontos.

Passo 11

Resumo das informações essenciais para esboçar o gráfico (instruções para desenhar).
  • Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty). Não existe ponto em x=0.
  • Sinal: f<0 para x<0; f>0 para x>0.
  • Limites:
    • \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty.
    • \displaystyle\lim_{x\to0^{-}}f(x)=0^{-}.
    • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^{+}.
    • \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0^{-}.
  • Assíntotas: y=0 é assíntota horizontal para x\to\pm\infty. Em x=0 o comportamento é vertical a direita ( +\infty) e tende a 0^{-} à esquerda.
  • Monotonicidade:
    • Decrescente em (-\infty,-1).
    • Crescente em (-1,0).
    • Decrescente em (0,\infty).
  • Extremo: mínimo em x=-1 com f(-1)=-\dfrac{1}{e}.
  • Concavidade:
    • Concavo para baixo em (-\infty,-1{,}7071).
    • Concavo para cima em (-1{,}7071,-0{,}2929).
    • Concavo para baixo em (-0{,}2929,0).
    • Concavo para cima em (0,\infty).
  • Pontos de inflexão aproximados em x\approx-1{,}7071 e x\approx-0{,}2929 (calcule f(x) nesses x se quiser marcar as alturas no esboço).
Como desenhar:
  • No eixo negativo trace uma curva negativa que vem de 0^{-} (quando x\to-\infty), inicialmente ligeiramente abaixo do eixo, entra em concavidade para baixo, muda para concavidade para cima perto de -1{,}7071, atinge o mínimo em (-1,-1/e), sobe com concavidade para cima até -0{,}2929, muda concavidade e aproxima-se do eixo x por baixo quando x\to0^{-} (tendendo a 0^{-}).
  • No lado positivo faça uma curva que parte de +\infty quando x\to0^{+}, desce de forma monotonamente decrescente e concava para cima, aproximando-se de y=0 por cima quando x\to+\infty.
Pronto — com essas informações você consegue esboçar o gráfico fielmente.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
Sinal: f(x)<0 em (-\infty,0), f(x)>0 em (0,\infty).
Limites: \lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty, \lim_{x\to0^{-}}f(x)=0^{-}, \lim_{x\to+\infty}f(x)=0^{+}, \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^{-}.
Assíntota horizontal: y=0 (para x\to\pm\infty).
Derivada: f'(x)=-e^{1/x}\dfrac{1+x}{x^{3}}. Monotonia: decrescente em (-\infty,-1), crescente em (-1,0), decrescente em (0,\infty).
Extremo: mínimo em x=-1 com f(-1)=-\dfrac{1}{e}.
Segunda derivada: f''(x)=e^{1/x}\dfrac{1+4x+2x^{2}}{x^{5}}. Pontos de inflexão: x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2}}{2}\approx-1{,}7071 e x\approx-0{,}2929.
Esboço: curva negativa que tem mínimo em (-1,-1/e) e aproxima-se de 0^{-} quando x\to\pm\infty; no lado positivo a curva sai de +\infty em x\to0^{+} e decresce concava para cima aproximando-se de 0^{+} quando x\to+\infty.

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