Esboce o gráfico da cada uma das seguintes funções
.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas (que vamos usar):
- A função é
. - O domínio natural deve ser determinado (note que há
no denominador e no expoente). - Precisamos analisar limites (próximo de pontos problemáticos e no infinito), sinais, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, pontos críticos e pontos de inflexão — tudo isso serve para montar o esboço.
(O próximo passo começa a calcular essas coisas; aqui só identifiquei o pedido e os dados.)
Passo 2
Domínio e sinal da função.
- A expressão
exige (divisão por zero proibida). Portanto o domínio é
- Como
para todo (a exponencial é sempre positiva), o sinal de é o mesmo do sinal de . Logo: -
se ; -
se .
Assim, o gráfico está acima do eixopara e abaixo do eixo para .
-
Passo 3
Limites na vizinhança de
(comportamento próximo ao ponto onde a função não está definida).
- Para
: temos , então . Como também , o quociente
Portanto, à direita de
a função explode para
.
- Para
: temos , então . O denominador é negativo pequeno, então
Isto é, à esquerda de
a função tende a
vindo de valores negativos (aproxima-se do eixo
por baixo).
Conclusão: em
há comportamentos distintos dos dois lados: à direita
, à esquerda
.
Passo 4
Limites quando
(comportamento nas “caudas”).
- Para
: então . Assim
- Para
: então também, e como é negativo grande,
Portanto,
é assíntota horizontal para ambas as caudas (o gráfico aproxima-se do eixo
por cima para
e por baixo para
).
Passo 5
Interceptos e zeros.
- Não há intercepto em
porque não pertence ao domínio. - Para achar zeros, resolver
. Como nunca anula, a função não tem zeros. Confirma com o sinal: positiva para , negativa para .
Passo 6
Cálculo da primeira derivada (aqui explico as regras usadas).
Vamos escrever
Regras que usamos:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Regra do produto:
.
Agora calculemos passo a passo.
- Derivada de
é . E . Logo
- Derivada de
é .
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Observação:
sempre, então o sinal de
é o sinal de
.
Passo 7
Monotonicidade e pontos críticos (usando
).
- Pontos críticos internos ao domínio ocorrem quando
ou indefinida (mas só é indefinida em , que já não está no domínio). Como , a equação equivale a , ou seja
é o único ponto crítico.
- Analisando o sinal de
. Observe . O fator é sempre negativo, então basta estudar o sinal de .
Fazendo quadro rápido:
- Para
: e ⇒ ⇒ . Portanto é decrescente em . - Para
: e ⇒ ⇒ . Portanto é crescente em . - Para
: e ⇒ ⇒ . Portanto é decrescente em .
Conclusão sobre
: a função decresce até
e cresce depois (no intervalo negativo), então
é um ponto de mínimo local. Não há máximos críticos no domínio.
Passo 8
Valor no ponto crítico e interpretação.
- Calculamos o valor em
:
Esse é o mínimo local. Observando limites (passos anteriores), para
a função tende a
e para
tende a
; portanto esse mínimo em
é, na verdade, o mínimo global (menor valor atingido pela função) na parte negativa do domínio.
Passo 9
Cálculo da segunda derivada (explicando as regras).
Partimos de
. Para simplificar o cálculo, defina
. Usamos regra do produto e derivados já conhecidos.
- Primeiro calcule
. Como ,
- Agora derive
. Usando produto:
Lembrando que
, temos
- Substituindo
e e simplificando (faça assim no rascunho):
Portanto
Observação:
, então o sinal de
é o sinal do polinômio/número
.
Passo 10
Concavidade e pontos de inflexão.
- Pontos de inflexão são onde
(numerador zero) ou mudança de sinal. Como , resolvemos
É uma quadrática; resolvendo:
Números aproximados:
-
Analisando o sinal de
por intervalos (lembre que muda de sinal em ): -
Para
: e (para claramente positivo), então . Logo, para a função é concava para cima. -
Para
: o sinal de é oposto ao sinal de porque . Assim: - Em
: ⇒ ⇒ concavidade para baixo. - Em
: ⇒ ⇒ concavidade para cima. - Em
: ⇒ ⇒ concavidade para baixo.
- Em
-
Portanto há dois pontos de inflexão nos valores de
encontrados (ambos negativos). O gráfico muda concavidade nestes pontos.
Passo 11
Resumo das informações essenciais para esboçar o gráfico (instruções para desenhar).
- Domínio:
. Não existe ponto em . - Sinal:
para ; para . - Limites:
-
. -
. -
. -
.
-
- Assíntotas:
é assíntota horizontal para . Em o comportamento é vertical a direita ( ) e tende a à esquerda. - Monotonicidade:
- Decrescente em
. - Crescente em
. - Decrescente em
.
- Decrescente em
- Extremo: mínimo em
com . - Concavidade:
- Concavo para baixo em
. - Concavo para cima em
. - Concavo para baixo em
. - Concavo para cima em
.
- Concavo para baixo em
- Pontos de inflexão aproximados em
e (calcule nesses se quiser marcar as alturas no esboço).
Como desenhar:
- No eixo negativo trace uma curva negativa que vem de
(quando ), inicialmente ligeiramente abaixo do eixo, entra em concavidade para baixo, muda para concavidade para cima perto de , atinge o mínimo em , sobe com concavidade para cima até , muda concavidade e aproxima-se do eixo por baixo quando (tendendo a ). - No lado positivo faça uma curva que parte de
quando , desce de forma monotonamente decrescente e concava para cima, aproximando-se de por cima quando .
Pronto — com essas informações você consegue esboçar o gráfico fielmente.
Resposta
Domínio:
.
Sinal: em
,
em
.
Limites: ,
,
,
.
Assíntota horizontal: (para
).
Derivada: . Monotonia: decrescente em
, crescente em
, decrescente em
.
Extremo: mínimo em com
.
Segunda derivada: . Pontos de inflexão:
e
.
Esboço: curva negativa que tem mínimo em e aproxima-se de
quando
; no lado positivo a curva sai de
em
e decresce concava para cima aproximando-se de
quando
.
Sinal:
Limites:
Assíntota horizontal:
Derivada:
Extremo: mínimo em
Segunda derivada:
Esboço: curva negativa que tem mínimo em