Esboce o gráfico da cada uma das seguintes funções
;
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
definida por
Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
- A função é
. - Não há restrição de domínio no enunciado, portanto consideramos todos os
. - O objetivo concreto é obter um esboço: isto pede identificar pontos importantes (interceptos, máximos/mínimos, pontos de inflexão), comportamento para
e concavidade/monotonia para desenhar a curva com confiança.
Passo 2
Domínio e simetria; comportamento nas extremidades.
- Domínio: a função é um polinômio, então o domínio é todo o conjunto dos reais, isto é
. - Teste de simetria: verificamos
.
Portanto
é uma função par (simétrica em relação ao eixo
); o gráfico será simétrico em torno do eixo vertical.
- Comportamento para
: o termo dominante é (grau 4, coeficiente positivo), então
Isto nos diz que as “pontas” do gráfico sobem para
em ambos os lados.
Passo 3
Derivada primeira: pontos críticos e fatoração.
- Conceito rápido: a derivada
dá a inclinação da reta tangente; pontos onde são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de platô. - Calculemos
:
- Factorizamos para encontrar zeros:
- Zeros (pontos críticos) ocorrem em
Passo 4
Classificação dos pontos críticos (teste da segunda derivada) e valores correspondentes.
- Segunda derivada (concavidade local):
- Avaliamos
nos pontos críticos: - Em
: . Portanto é um máximo local. - Em
: . Portanto são mínimos locais.
- Em
- Valores da função nesses pontos:
-
. -
.
-
- Conclusão: há um máximo local em
e mínimos locais em .
Passo 5
Zeros (interseções com o eixo
).
- Para achar os zeros resolvemos
. Fazemos a substituição (método padrão para polinômio em ):
- Resolvendo a quadrática:
- Como
, e ambos valores são positivos, temos duas soluções para para cada :
- Aproximações numéricas (úteis para desenhar): usando aproximações conhecidas
,
- Portanto há quatro interseções com o eixo
em e .
Passo 6
Pontos de inflexão e concavidade.
- Pontos de inflexão ocorrem onde
(e muda o sinal da concavidade).
- Valores nesses pontos:
- Então há pontos de inflexão em
. - Sinal de
para concavidade: - Para
: então (concavidade voltada para baixo). - Para
: então (concavidade voltada para cima).
- Para
Passo 7
Monotonicidade (onde a função sobe ou desce) — usando o sinal de
.
- Zeros de
em dividem a reta em quatro intervalos. Fazemos um quadro de sinais (explicando rapidamente): - Para
: negativo e → produto negativo → . Função decrescente. - Para
: negativo e → produto positivo → . Função crescente. - Para
: positivo e → produto negativo → . Função decrescente. - Para
: positivo e → produto positivo → . Função crescente.
- Para
- Resumo: decrescente em
, crescente em , decrescente em , crescente em .
Passo 8
Valores adicionais úteis para o esboço (pontos para plotar).
- Interseção com o eixo
: (já visto). - Valores em pontos simples:
-
(inflexão). -
. - Observação:
é menor que , o que faz sentido porque o mínimo local está entre e .
-
Passo 9
Como montar o esboço passo a passo (o que você deve desenhar numa folha na prova).
- Trace os eixos
e . Lembre que o gráfico é par (simétrico). - Marque os pontos importantes:
- Máximo local:
. - Mínimos locais:
. - Zeros:
e . - Pontos de inflexão:
. - Alguns pontos extras para referência:
.
- Máximo local:
- Desenhe a curva obedecendo:
- Para
sobe para . - Começando à esquerda: decrescente até
, atinge mínimo , sobe até atingindo máximo , desce novamente até o mínimo em e sobe depois para . - No intervalo central entre
e o gráfico é côncavo para baixo; para é côncavo para cima. Em a concavidade muda (inflection).
- Para
- Use linhas suaves ligando os pontos, mantendo a simetria e a forma polinomial de grau 4 (duas “vales” e um “topo” central).
Resposta
Máximo local:
.
Mínimos locais: .
Interceptos com o eixo :
e
.
Pontos de inflexão: .
Comportamento em infinito: .
Mínimos locais:
Interceptos com o eixo
Pontos de inflexão:
Comportamento em infinito: