Esboce o gráfico da cada uma das seguintes funções
f_{2}(x)=x^{4}-6 x^{2}+1;

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f_{2} definida por
f_{2}(x)=x^{4}-6x^{2}+1.
Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
  • A função é f_{2}(x)=x^{4}-6x^{2}+1.
  • Não há restrição de domínio no enunciado, portanto consideramos todos os x\in\mathbb{R}.
  • O objetivo concreto é obter um esboço: isto pede identificar pontos importantes (interceptos, máximos/mínimos, pontos de inflexão), comportamento para x\to\pm\infty e concavidade/monotonia para desenhar a curva com confiança.

Passo 2

Domínio e simetria; comportamento nas extremidades.
  • Domínio: a função é um polinômio, então o domínio é todo o conjunto dos reais, isto é \mathbb{R}.
  • Teste de simetria: verificamos f_{2}(-x).
f_{2}(-x)=(-x)^{4}-6(-x)^{2}+1 = x^{4}-6x^{2}+1 = f_{2}(x).
Portanto f_{2} é uma função par (simétrica em relação ao eixo y); o gráfico será simétrico em torno do eixo vertical.
  • Comportamento para x\to\pm\infty: o termo dominante é x^{4} (grau 4, coeficiente positivo), então
\lim_{x\to\pm\infty} f_{2}(x)=+\infty.
Isto nos diz que as “pontas” do gráfico sobem para +\infty em ambos os lados.

Passo 3

Derivada primeira: pontos críticos e fatoração.
  • Conceito rápido: a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente; pontos onde f'(x)=0 são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de platô.
  • Calculemos f_{2}'(x):
f_{2}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-6x^{2}+1\bigr)=4x^{3}-12x.
  • Factorizamos para encontrar zeros:
f_{2}'(x)=4x^{3}-12x = 4x(x^{2}-3)=4x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).
  • Zeros (pontos críticos) ocorrem em
x=0,\qquad x=\pm\sqrt{3}\\ (\approx\pm1,732).

Passo 4

Classificação dos pontos críticos (teste da segunda derivada) e valores correspondentes.
  • Segunda derivada (concavidade local):
f_{2}''(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3}-12x)=12x^{2}-12=12(x^{2}-1).
  • Avaliamos f_{2}'' nos pontos críticos:
    • Em x=0: f_{2}''(0)=12(0^{2}-1)=12(-1)=-12<0. Portanto x=0 é um máximo local.
    • Em x=\pm\sqrt{3}: f_{2}''(\pm\sqrt{3})=12(3-1)=12\cdot2=24>0. Portanto x=\pm\sqrt{3} são mínimos locais.
  • Valores da função nesses pontos:
    • f_{2}(0)=0^{4}-6\cdot0^{2}+1=1.
    • f_{2}(\pm\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{4}-6(\sqrt{3})^{2}+1 = 9-18+1=-8.
  • Conclusão: há um máximo local em (0,1) e mínimos locais em \bigl(\pm\sqrt{3},-8\bigr).

Passo 5

Zeros (interseções com o eixo x).
  • Para achar os zeros resolvemos x^{4}-6x^{2}+1=0. Fazemos a substituição y=x^{2} (método padrão para polinômio em x^{2}):
y^{2}-6y+1=0.
  • Resolvendo a quadrática:
y=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{6\pm4\sqrt{2}}{2}=3\pm2\sqrt{2}.
  • Como y=x^{2}, e ambos valores são positivos, temos duas soluções para x para cada y:
x^{2}=3-2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3-2\sqrt{2}},
x^{2}=3+2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3+2\sqrt{2}}.
  • Aproximações numéricas (úteis para desenhar): usando aproximações conhecidas \sqrt{2}\approx1,4142,
3-2\sqrt{2}\approx3-2{,}8284=0{,}1716\quad\Rightarrow\quad x\approx\pm0{,}4142,
3+2\sqrt{2}\approx3+2{,}8284=5{,}8284\quad\Rightarrow\quad x\approx\pm2{,}4142.
  • Portanto há quatro interseções com o eixo x em x\approx\pm0{,}4142 e x\approx\pm2{,}4142.

Passo 6

Pontos de inflexão e concavidade.
  • Pontos de inflexão ocorrem onde f_{2}''(x)=0 (e muda o sinal da concavidade).
f_{2}''(x)=12(x^{2}-1)=0 \iff x=\pm1.
  • Valores nesses pontos:
f_{2}(\pm1)=1^{4}-6\cdot1^{2}+1=1-6+1=-4.
  • Então há pontos de inflexão em (\pm1,-4).
  • Sinal de f_{2}'' para concavidade:
    • Para |x|<1: x^{2}-1<0 então f_{2}''(x)<0 (concavidade voltada para baixo).
    • Para |x|>1: x^{2}-1>0 então f_{2}''(x)>0 (concavidade voltada para cima).

Passo 7

Monotonicidade (onde a função sobe ou desce) — usando o sinal de f_{2}'(x)=4x(x^{2}-3).
  • Zeros de f_{2}' em -\sqrt{3},0,\sqrt{3} dividem a reta em quatro intervalos. Fazemos um quadro de sinais (explicando rapidamente):
    • Para x<-\sqrt{3}: x negativo e x^{2}-3>0 → produto negativo → f_{2}'(x)<0. Função decrescente.
    • Para -\sqrt{3}<x<0: x negativo e x^{2}-3<0 → produto positivo → f_{2}'(x)>0. Função crescente.
    • Para 0<x<\sqrt{3}: x positivo e x^{2}-3<0 → produto negativo → f_{2}'(x)<0. Função decrescente.
    • Para x>\sqrt{3}: x positivo e x^{2}-3>0 → produto positivo → f_{2}'(x)>0. Função crescente.
  • Resumo: decrescente em (-\infty,-\sqrt{3}), crescente em (-\sqrt{3},0), decrescente em (0,\sqrt{3}), crescente em (\sqrt{3},\infty).

Passo 8

Valores adicionais úteis para o esboço (pontos para plotar).
  • Interseção com o eixo y: f_{2}(0)=1 (já visto).
  • Valores em pontos simples:
    • f_{2}(\pm1)=-4 (inflexão).
    • f_{2}(\pm2)=2^{4}-6\cdot2^{2}+1=16-24+1=-7.
    • Observação: f_{2}(\pm\sqrt{3})=-8 é menor que f_{2}(\pm2)=-7, o que faz sentido porque o mínimo local está entre 1 e 2.

Passo 9

Como montar o esboço passo a passo (o que você deve desenhar numa folha na prova).
  1. Trace os eixos x e y. Lembre que o gráfico é par (simétrico).
  2. Marque os pontos importantes:
    • Máximo local: (0,1).
    • Mínimos locais: \bigl(\pm\sqrt{3},-8\bigr)\approx(\pm1{,}732,-8).
    • Zeros: \pm\sqrt{3-2\sqrt{2}}\approx\pm0{,}4142 e \pm\sqrt{3+2\sqrt{2}}\approx\pm2{,}4142.
    • Pontos de inflexão: (\pm1,-4).
    • Alguns pontos extras para referência: (\pm2,-7).
  3. Desenhe a curva obedecendo:
    • Para x\to\pm\infty sobe para +\infty.
    • Começando à esquerda: decrescente até x=-\sqrt{3}, atinge mínimo -8, sobe até x=0 atingindo máximo 1, desce novamente até o mínimo em x=\sqrt{3} e sobe depois para +\infty.
    • No intervalo central entre -1 e 1 o gráfico é côncavo para baixo; para |x|>1 é côncavo para cima. Em \pm1 a concavidade muda (inflection).
  4. Use linhas suaves ligando os pontos, mantendo a simetria e a forma polinomial de grau 4 (duas “vales” e um “topo” central).

Resposta

Máximo local: (0,1).
Mínimos locais: \bigl(\pm\sqrt{3},-8\bigr).
Interceptos com o eixo x: x=\pm\sqrt{3-2\sqrt{2}}\approx\pm0{,}4142 e x=\pm\sqrt{3+2\sqrt{2}}\approx\pm2{,}4142.
Pontos de inflexão: (\pm1,-4).
Comportamento em infinito: \lim_{x\to\pm\infty}f_{2}(x)=+\infty.

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