Resolva cada equação
e^{x}=16, \ln (2 x-1)=3, \ln x+\ln (x-1)=1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver as três equações abaixo (cada uma independentemente):
e^{x}=16,
\ln(2x-1)=3,
\ln x+\ln(x-1)=1.
Informações relevantes dadas por cada equação:
  1. Na primeira equação a incógnita é x e aparece no expoente de e.
  2. Na segunda equação o logaritmo natural \ln tem argumento 2x-1.
  3. Na terceira equação somam-se dois logaritmos naturais cujos argumentos são x e x-1.
Observações importantes que vou usar depois (não estou resolvendo ainda, só listando o que o enunciado fornece): o logaritmo natural \ln(\cdot) está definido apenas para argumentos positivos (ou seja, sempre que aparecer \ln(\text{algo}) precisamos exigir \text{algo}>0). A resolução começa a partir daqui no próximo passo.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadinho, sem pular etapas):
  1. Relação inversa entre e^x e \ln x: para qualquer y>0 vale
\ln(e^y)=y\quad\text{e}\quad e^{\ln y}=y.
Isto significa que para resolver e^{x}=A isolamos x aplicando \ln aos dois lados: x=\ln A.
  1. Propriedade da soma de logaritmos: para a>0 e b>0,
\ln a + \ln b = \ln(ab).
Usamos isso para transformar somas de \ln em um único \ln e então aplicar a exponenciação como no item 1.
  1. Domínio do logaritmo: sempre que aparecer \ln(\text{expressão})ã devemos impor \text{expressão}>0ã. Vou checar essas condições ao final de cada resolução.
Agora aplico essas ideias a cada equação, passo a passo.

Passo 3

Resolver \;e^{x}=16.
  1. Aplicamos o logaritmo natural aos dois lados (isso é lícito porque 16>0):
\ln\big(e^{x}\big)=\ln(16).
  1. Pelo fato de \ln(e^{x})=x, obtemos
x=\ln(16).
  1. Podemos simplificar \ln(16) usando 16=2^{4}:
\ln(16)=\ln\big(2^{4}\big)=4\ln(2).
  1. Portanto a solução exata é
x=\ln(16)=4\ln(2).
Se quiser uma aproximação numérica (só para intuir o valor), como \ln(2)\approx 0,6931 então 4\ln(2)\approx 2,7726. Não é obrigatório na prova dar aproximado, mas fica a dica.

Passo 4

Resolver \;\ln(2x-1)=3.
  1. Antes de qualquer conta, imponho a condição de existência do logaritmo: precisamos de 2x-1>0, ou seja
x>\tfrac{1}{2}.
  1. Agora exponencio ambos os lados usando e^{(\cdot)}, porque e^{\ln(\text{algo})}=\text{algo}:
e^{\ln(2x-1)}=e^{3}.
  1. O lado esquerdo simplifica para 2x-1, então
2x-1=e^{3}.
  1. Isolo x:
2x=e^{3}+1\quad\Rightarrow\quad x=\frac{e^{3}+1}{2}.
  1. Verifico a condição de domínio: como e^{3}>0, então \frac{e^{3}+1}{2}>\frac{1}{2}, logo a solução satisfaz x>\tfrac{1}{2}. Tudo certo.
  2. Podemos dar a forma exata como acima. Aproximação numérica (opcional): e^{3}\approx 20,0855 então x\approx\frac{20,0855+1}{2}\approx 10,5428.

Passo 5

Resolver \;\ln x+\ln(x-1)=1.
  1. Primeiro imposto o domínio dos logaritmos: precisamos de
x>0\quad\text{e}\quad x-1>0,
ou seja
x>1.
Então qualquer solução deve ser maior que 1.
  1. Uso a propriedade da soma de logaritmos para juntar os dois \ln:
\ln x+\ln(x-1)=\ln\big(x(x-1)\big).
Assim a equação fica
\ln\big(x(x-1)\big)=1.
  1. Exponencio ambos os lados para eliminar o \ln:
x(x-1)=e^{1}=e.
  1. Desenvolvo a expressão à esquerda e formo uma equação quadrática:
x^{2}-x-e=0.
  1. Aplico a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-1, c=-e. Então
x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-e)}}{2\cdot 1} =\frac{1\pm\sqrt{1+4e}}{2}.
  1. Avalio quais raízes respeitam o domínio x>1. Note que e>0 então \sqrt{1+4e}>1. Assim:
  • A raiz com sinal + é
x_{1}=\frac{1+\sqrt{1+4e}}{2},
que é maior que 1 (porque numerador >1+1=2, divisão por 2 >1).
  • A raiz com sinal - é
x_{2}=\frac{1-\sqrt{1+4e}}{2},
essa é negativa (ou menor que 1); de fato \sqrt{1+4e}>1 implica 1-\sqrt{1+4e}<0, então x_{2}<0, portanto não satisfaz x>1.
  1. Concluímos que a única solução admissível é
x=\frac{1+\sqrt{1+4e}}{2}.
Aproximação numérica (opcional): como e\approx 2,7182818 temos 1+4e\approx 11,8731, \sqrt{1+4e}\approx 3,446 e então x\approx \frac{1+3,446}{2}\approx 2,223.

Resposta

x=4\ln(2)
x=\dfrac{e^{3}+1}{2}
x=\dfrac{1+\sqrt{1+4e}}{2}

Exercícios relacionados