Resolva cada equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver as três equações abaixo (cada uma independentemente):
Informações relevantes dadas por cada equação:
- Na primeira equação a incógnita é
e aparece no expoente de . - Na segunda equação o logaritmo natural
tem argumento . - Na terceira equação somam-se dois logaritmos naturais cujos argumentos são
e .
Observações importantes que vou usar depois (não estou resolvendo ainda, só listando o que o enunciado fornece): o logaritmo natural
está definido apenas para argumentos positivos (ou seja, sempre que aparecer
precisamos exigir
). A resolução começa a partir daqui no próximo passo.
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadinho, sem pular etapas):
- Relação inversa entre
e : para qualquer vale
Isto significa que para resolver
isolamos
aplicando
aos dois lados:
.
- Propriedade da soma de logaritmos: para
e ,
Usamos isso para transformar somas de
em um único
e então aplicar a exponenciação como no item 1.
- Domínio do logaritmo: sempre que aparecer
devemos impor . Vou checar essas condições ao final de cada resolução.
Agora aplico essas ideias a cada equação, passo a passo.
Passo 3
Resolver
.
- Aplicamos o logaritmo natural aos dois lados (isso é lícito porque
):
- Pelo fato de
, obtemos
- Podemos simplificar
usando :
- Portanto a solução exata é
Se quiser uma aproximação numérica (só para intuir o valor), como
então
. Não é obrigatório na prova dar aproximado, mas fica a dica.
Passo 4
Resolver
.
- Antes de qualquer conta, imponho a condição de existência do logaritmo: precisamos de
, ou seja
- Agora exponencio ambos os lados usando
, porque :
- O lado esquerdo simplifica para
, então
- Isolo
:
-
Verifico a condição de domínio: como
, então , logo a solução satisfaz . Tudo certo. -
Podemos dar a forma exata como acima. Aproximação numérica (opcional):
então .
Passo 5
Resolver
.
- Primeiro imposto o domínio dos logaritmos: precisamos de
ou seja
Então qualquer solução deve ser maior que
.
- Uso a propriedade da soma de logaritmos para juntar os dois
:
Assim a equação fica
- Exponencio ambos os lados para eliminar o
:
- Desenvolvo a expressão à esquerda e formo uma equação quadrática:
- Aplico a fórmula quadrática. Para uma equação
as raízes são
Aqui
,
,
. Então
- Avalio quais raízes respeitam o domínio
. Note que então . Assim:
- A raiz com sinal
é
que é maior que
(porque numerador
, divisão por
dá
).
- A raiz com sinal
é
essa é negativa (ou menor que
); de fato
implica
, então
, portanto não satisfaz
.
- Concluímos que a única solução admissível é
Aproximação numérica (opcional): como
temos
,
e então
.