Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=l|x^2-4r|
O conteúdo principal é o estudo de função valor-absoluto aplicado a uma parábola. Para desenhar esse gráfico, vamos (1) encontrar onde o radicando muda de sinal e (2) reescrever f por partes, em seguida analisar cada ramo e os pontos-chave.
Passo 2
Achamos onde x^2-4=0:
x^2-4=0Longrightarrow x=pm2
Portanto dividimos o domínio em três partes e usamos
lvert x^2-4rvert= x^2-4, & se x^2-4>=0iff|x|>=2, 4-x^2, & se x^2-4<0iff|x|<2
Passo 3
No intervalo -2<x<2 temos
f(x)=4-x^2
Esse é um ramo de parábola aberta para baixo com vértice em (0,4) e zeros em x=-2 e x=2.
Passo 4
Para x<=-2 e para x>=2 vale
f(x)=x^2-4
Esse é o ramo da parábola original x^2-4 (aberta para cima), mas só a parte que fica acima do eixo x. Em x=-2 e x=2 ela atinge o valor zero e cresce para +infty conforme xtopminfty.
Passo 5
Juntando os dois desenhos, obtemos um “W” simétrico em relação ao eixo y, com pontos principais
(-2,0), (0,4),(2,0),
com continuidade em todo R mas canto (cúspide) em x=pm2.
Resposta
O esboço do gráfico de f(x)=lvert x^2-4rvert é formado por:
Para -2<= x<=2, a parábola invertida 4-x^2 entre os pontos (-2,0) e (2,0) com vértice em (0,4).
Para x<=-2 e x>=2, os ramos da parábola x^2-4 que partem de (-2,0) e (2,0) e crescem para +infty, formando um “W” simétrico.