Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma mudança de variável conveniente.
(a) (x-y)^2 d yd x=4. Sugestão: u=x-y.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
(x - y)^2,dydx = 4
e a sugestão de usar a mudança de variável
u = x - y
O objetivo é reescrever a EDO em termos de u e x, separar variáveis e integrar.

Passo 2

Como u = x - y, temos
dudx = 1 - dydx
Além disso, de (x-y)^2,dydx = 4 vem
dydx = 4u^2
Substituindo em dudx, obtém-se
dudx = 1 - 4u^2 = u^2 - 4u^2

Passo 3

Separemos variáveis em
dudx = u^2 - 4u^2 Longrightarrow u^2u^2 - 4,du = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral u^2u^2 - 4,du = integral dx
Note que
u^2u^2 - 4 = 1 + 4u^2 - 4,
então
integral u^2u^2 - 4,du = integral 1,du + 4integral duu^2 - 4 = u + 4cdot14lnl|u - 2u + 2r| = u + lnl|u - 2u + 2r|
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u + lnl|u - 2u + 2r| = x + C

Passo 5

Voltando à variável original u = x - y, a solução geral implícita é
(x - y) + lnl|x - y - 2x - y + 2r| = x + C
Podemos reescrever isolando y de modo implícito como
-y + lnl|x - y - 2x - y + 2r| = C Long<=ftrightarrow y - lnl|x - y - 2x - y + 2r| = C1

Resposta

A solução geral implícita é
(x - y) + ln!l|tfracx - y - 2x - y + 2r| = x + C
ou, equivalentemente,
y - ln!l|tfracx - y - 2x - y + 2r| = C1

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