4.5E Um fio uniforme com densidade constante rho=1 tem o formato da hélice do Exercício 1.1(f). Determine seu centro de massa e seu momento de inércia com relação ao eixo L: x=z, y= 1. [resp CM(0,0, pi) ; IL=raiz22(7 pi+8 pi^3 / 3)]

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa e o momento de inércia de um fio uniforme (densidade rho=1) que tem o formato da hélice dada em Ex. 1.1(f). Essa hélice é parametrizada por
r(t) = (cos t,;sin t,;t),
com tin[0,2pi]. O eixo L em relação ao qual queremos o momento de inércia é a reta
x=z, y=1

Passo 2

Para achar o centro de massa, computamos primeiro a massa total
m=integral0^2pirho,l|r'(t)r|,dt =integral0^2piraiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2,dt =raiz2integral0^2pidt =2raiz2,pi
As coordenadas do centro de massa são
CM=1mintegral0^2pir(t),l|r'(t)r|,dt =raiz22raiz2pil(integral0^2picos t,dt,;integral0^2pisin t,dt,;integral0^2pit,dtr) =(0,0,pi)

Passo 3

O momento de inércia em relação ao eixo L é
IL=integral0^2pid^2l(r(t),Lr),l|r'(t)r|,dt,
onde a distância ao quadrado de um ponto p=(x,y,z) à reta Lcolon x=z,;y=1 vale
d^2(p,L) =(x-z)^22+(y-1)^2
No nosso caso x=cos t, y=sin t, z=t e |r'(t)|=raiz2, então
IL =raiz2integral0^2pil[tfrac12(cos t - t)^2+(sin t-1)^2r]dt =raiz22integral0^2pil[(cos t - t)^2+2(sin t-1)^2r]dt

Passo 4

Separando as integrais,
integral0^2pi(cos t - t)^2dt =integral0^2picos^2t,dt-2integral0^2pitcos t,dt+integral0^2pit^2,dt =pi+0+8pi^33,
integral0^2pi2(sin t-1)^2dt =2l(integral0^2pisin^2t,dt-2integral0^2pisin t,dt+integral0^2pidtr) =2(pi+0+2pi)=6pi
Somando, dentro da integral fica 7pi+tfrac8pi^33, logo
IL =raiz22l(7pi+8pi^33r)

Resposta

CM=(0,0,pi)
IL=raiz22l(7pi+8pi^33r)

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