Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
y=|x^2-4| e y=x^22+4

Passo 1

Resumo do problema: precisamos esboçar o gráfico de y=|x^2-4| e de y=tfracx^22+4, identificar a região que fica entre essas curvas e calcular sua área. O conteúdo envolve definição de funções peça a peça por valor absoluto, interseção de curvas e cálculo de área por integração.

Passo 2

Para trabalhar com y=|x^2-4|, escrevemos em forma peça a peça:
|x^2-4|=x^2-4,&|x|>=2,4-x^2,&|x|<=2

Passo 3

Determinamos os pontos de interseção resolvendo |x^2-4|=tfracx^22+4 em cada intervalo:
  • Para |x|<=2, 4-x^2=tfracx^22+4 leva a x=0.
  • Para |x|>=2, x^2-4=tfracx^22+4 leva a x=pm4.

Passo 4

Analisando quem está acima: para todo xin[-4,4], verificamos que y=tfracx^22+4 fica sempre acima de y=|x^2-4|. Assim a região é limitada verticalmente por ytop=tfracx^22+4 e ybot=|x^2-4|, no intervalo xin[-4,4].

Passo 5

Montamos a integral da área
A=integral-4^4l(ytop-ybotr),dx =integral-4^-2l(tfracx^22+4-(x^2-4)r)dx +integral-2^2l(tfracx^22+4-(4-x^2)r)dx +integral2^4l(tfracx^22+4-(x^2-4)r)dx
Em |x|>=2 o integrando é -tfracx^22+8 e em |x|<=2 é tfrac3x^22.

Passo 6

Calculamos cada parte usando simetria:
  • “Interno”:
integral-2^2tfrac3x^22,dx=2integral0^2tfrac3x^22,dx=3integral0^2x^2,dx=3cdottfrac2^33=8
  • “Externo”:
integral2^4l(-tfracx^22+8r)dx=igl[-tfracx^36+8xr]2^4=tfrac203 
Como há duas partes simétricas ( [2,4] e [-4,-2]), a área externa total é 2cdottfrac203=tfrac403.

Passo 7

Somando as áreas interna e externa:
A=8+tfrac403=tfrac243+tfrac403=tfrac643

Resposta

dfrac643

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