Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
f^prime prime(x)=sen(x), f^prime(pi)=2 e f(pi)=4

Passo 1

A gente tem um problema de valor inicial com uma EDO de segunda ordem: f’’(x)=sen(x), f’(π)=2 e f(π)=4. Vamos usar antiderivação sucessiva para achar f’(x) e depois f(x).

Passo 2

Primeiro integramos f’’(x)=sen(x). Como integral sin(x),dx = -cos(x), temos
f'(x) = -cos(x) + C1

Passo 3

Agora usamos a condição f’(π)=2:
-cos(pi) + C1 = 2
Como cos(pi)=-1, isso vira 1 + C1 = 2 e logo C1 = 1.

Passo 4

Com C1=1, f’(x) fica -cos(x)+1. Integramos para achar f(x):
f(x) = integral(-cos(x)+1),dx = -sin(x) + x + C2
Pois integral -cos(x),dx = -sin(x) e integral 1,dx = x.

Passo 5

Por fim, aplicamos f(π)=4:
-sin(pi) + pi + C2 = 4
Como sin(pi)=0, fica pi + C2 = 4, daí C2 = 4 - pi.

Resposta

f(x) = -sin(x) + x + 4 - pi

Exercícios relacionados