Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
x=4-4 y^4 e x=1-y^4

Passo 1

Neste exercício, vamos esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas x = 4 - 4y^4 e x = 1 - y^4. O conteúdo principal é cálculo de área de regiões planas usando integrais. Para resolver, precisamos encontrar os pontos de interseção (limites em y), descobrir qual curva fica mais à direita (para formar a diferença das abscissas) e, então, montar e calcular a integral.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões de x:
4 - 4y^4 = 1 - y^4
Isolando os termos em y^4:
4 - 1 = 4y^4 - y^4
3 = 3y^4
y^4 = 1 ,Rightarrow, y = pm 1
Portanto, as curvas se encontram em y = -1 e y = 1.

Passo 3

Para y entre -1 e 1, comparamos x = 4 - 4y^4 e x = 1 - y^4. Vendo que 4 - 4y^4 >= 1 - y^4 nesse intervalo, a curva mais à direita é x = 4 - 4y^4 e a mais à esquerda é x = 1 - y^4.

Passo 4

Montamos, então, a integral da área em relação a y:
A = integraly=-1^1 l[(4 - 4y^4) - (1 - y^4)r] , dy
Simplificando o integrando:
(4 - 4y^4) - (1 - y^4) = 3 - 3y^4
Logo,
A = integral-1^1 (3 - 3y^4) , dy = 3l( integral-1^1 1 , dy - integral-1^1 y^4 , dy r)

Passo 5

Calculando cada parte:
integral-1^1 1 , dy = 2, integral-1^1 y^4 , dy = 2cdot 1^55 = 25
Logo, a área da região é dada por A = 3l(2 - tfrac25r).

Resposta

245

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