Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
Passo 1
Neste exercício, vamos esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo principal é cálculo de área de regiões planas usando integrais. Para resolver, precisamos encontrar os pontos de interseção (limites em
), descobrir qual curva fica mais à direita (para formar a diferença das abscissas) e, então, montar e calcular a integral.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões de
:
Isolando os termos em
:
Portanto, as curvas se encontram em
e
.
Passo 3
Para
entre
e
, comparamos
e
. Vendo que
nesse intervalo, a curva mais à direita é
e a mais à esquerda é
.
Passo 4
Montamos, então, a integral da área em relação a
:
Simplificando o integrando:
Logo,
Passo 5
Calculando cada parte:
Logo, a área da região é dada por
.