Determine o valor da integral iterada
, onde
, com precisão de no mínimo três casas decimais:
Passo 1
A integral que a gente quer é
, onde
. O assunto envolvido é integração iterada e uso de primitivação com logaritmo e arctan.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a integral interna em
:
Para isso, usamos a fórmula geral
e, no nosso caso,
. Aplicando e avaliando de 0 a 1, obtemos
Passo 3
Logo, a integral dupla vira uma integral simples em
:
A gente separa em três partes:
,
, e
.
Passo 4
Para
, usamos
Avaliando de 1 a 2 dá
Passo 5
Para
, integramos por partes
,
. Isso leva a
Multiplicando por 2 e avaliando de 1 a 2 resulta
Passo 6
Somando tudo:
dá
Calculando numericamente com pelo menos três casas, dá aproximadamente
.
Resposta
0.917