Determine o valor da integral iterada integral duplaR ln (r^2+t^2) d t d r, onde R=(r, t) mid 1 <= r <= 2,0 <= t <= 1, com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

A integral que a gente quer é integral duplaR ln(r^2+t^2),dt,dr, onde R=(r,t)mid 1<= r<=2,;0<= t<=1. O assunto envolvido é integração iterada e uso de primitivação com logaritmo e arctan.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral interna em t:
integral0^1ln(r^2+t^2),dt
Para isso, usamos a fórmula geral
integralln(a+t^2),dt = tln(a+t^2) - 2t + 2raiza,arctanl(traizar) + C
e, no nosso caso, a=r^2. Aplicando e avaliando de 0 a 1, obtemos
integral0^1ln(r^2+t^2),dt = l[tln(r^2+t^2)-2t+2rarctan(tfractr)r]0^1 = ln(r^2+1)-2 +2rarctanl(tfrac1rr)

Passo 3

Logo, a integral dupla vira uma integral simples em r:
integral1^2l[ln(r^2+1)-2 +2rarctan(1/r)r],dr
A gente separa em três partes: I1=integral1^2ln(r^2+1),dr, I2=-2integral1^2dr=-2, e I3=2integral1^2rarctan(1/r),dr.

Passo 4

Para I1, usamos
integralln(r^2+1),dr = rln(r^2+1) -2r +2arctan(r) + C
Avaliando de 1 a 2 dá
I1 = l[2ln5 -4 +2arctan2r] - l[ln2 -2 +tfracpi2r] = lnl(252r) -2 +2arctan2 -pi2

Passo 5

Para I3, integramos por partes u=arctan(1/r), dv=r,dr. Isso leva a
integral rarctan(1/r),dr = r^22arctan(1/r)+12l(r-arctan(r)r)+C
Multiplicando por 2 e avaliando de 1 a 2 resulta
I3 = 4arctan(1/2)+1 -arctan2

Passo 6

Somando tudo: I1 + I2 + I3
lnl(252r)-3 -pi2 +arctan2 +4arctanl(tfrac12r)
Calculando numericamente com pelo menos três casas, dá aproximadamente 0.917.

Resposta

0.917

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