Esboce o gráfico e calcule a área da região indicada abaixo em m²:
Região limitada pelas curvas y=raizx e y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas y=raizx e y=x^2 e calcular a área da região limitada por elas. O conteúdo é cálculo integral aplicado à área entre duas funções; vamos usar pontos de interseção, determinar qual curva está acima e integrar a diferença.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, resolvemos raizx=x^2. Isso dá x^1/2-x^2=0, ou x^1/2(1-x^3/2)=0. Logo as interseções são x=0 e x=1.

Passo 3

Para esboçar, note que em [0,1] temos raizx>= x e x^2<= x, então raizx fica acima de x^2. Desenhe no mesmo sistema a curva y=x^2 (abertura para cima) e a metade da parábola invertida y=raizx, marcando x=0 e x=1 e sombreando a região entre elas.

Passo 4

A área A é dada por integrar a diferença entre a curva superior e a inferior de x=0 até x=1. Montamos
A=integral0^1l(raizx-x^2r),dx
e calculamos
A=integral0^1x^1/2,dx-integral0^1x^2,dx
A=l[tfrac23x^3/2r]0^1-l[tfrac13x^3r]0^1=tfrac23-tfrac13=tfrac13

Resposta

13,m^2

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