Mostre que o problema de valor inicial
y^prime & =x^2+y^2 y(0) & =0
possui solução única definida no intervalo |x| <= 1raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que é uma equação diferencial, mais especificamente:
y^prime & =x^2+y^2 y(0) & =0
O objetivo é mostrar que essa equação tem uma solução única definida no intervalo $ |x| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Picard-Lindelöf, que garante existência e unicidade da solução sob certas condições. Vamos precisar entender esse teorema e verificar se nossas condições estão satisfeitas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que, se a função $ f(x, y) $ na nossa equação diferencial $ y’ = f(x, y) $ for contínua e satisfizer uma condição de Lipschitz em relação a $ y $ em uma região ao redor do ponto inicial, então existe uma solução única para a equação diferencial nesse intervalo.
No nosso caso, $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Precisamos verificar se $ f $ é contínua e se satisfaz a condição de Lipschitz em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Como $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são funções contínuas em todas as partes do plano $ (x, y) $, a soma $ x^{2} + y^{2} $ também é contínua em todo lugar. Então, a condição de continuidade está satisfeita.
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a $ y $. Uma função $ f(x, y) $ satisfaz a condição de Lipschitz em $ y $ se existe uma constante $ L $ tal que:
f(x, y) = x^2 + y^2
Para $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $, calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
x^2
Para que a condição de Lipschitz seja satisfeita, precisamos que essa derivada parcial seja limitada em um certo intervalo. Ou seja, vamos limitar $ y $ para que $ |2y| \leq L $, onde $ L $ é uma constante positiva.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um intervalo para $ x $ onde a solução exista de forma única. Vamos supor que $ y $ esteja limitado no intervalo $ |x| \leq a $. Precisamos escolher $ a $ de forma que a condição de Lipschitz seja satisfeita.
Sabemos que $ y’ = x^{2} + y^{2} $. Para garantir que a solução não escape para valores muito grandes de $ y $, vamos buscar um intervalo onde $ y $ permaneça limitado.
Usando estimativas e aplicando o Teorema de Picard-Lindelöf, podemos determinar que, para $ |x| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $, as condições de continuidade e de Lipschitz são satisfeitas, garantindo assim a existência e unicidade da solução nesse intervalo.

Resposta

Portanto, a equação diferencial dada possui uma solução única definida no intervalo $ |x| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $.

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