Esboce o gráfico da cônica: x^29-y^216=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço da cônica
x^29-y^216=1.
O conteúdo é hipérbole no formato
x^2a^2-y^2b^2=1.
Para resolver, vamos identificar centro, semieixos a e b, vértices e assíntotas, e então desenhar os ramos.

Passo 2

Reconhecemos que a^2=9 e b^2=16, logo
a=3, b=4
O centro fica em (0,0).
Os vértices, que ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo x, são
(pm a,0)=(pm3,0)
Não há interceptos em y, pois para x=0 teríamos
-y^216=1,
o que não admite solução real.

Passo 3

As assíntotas vêm da equação
x^2a^2-y^2b^2=0,
que equivale a
y^2b^2=x^2a^2
Extraindo raízes, obtemos
y=pmba,x Longrightarrow y=pm43x

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe o retângulo-guia centrado em (0,0) com semieixos de comprimentos a=3 (horizontal) e b=4 (vertical).
  2. Trace as diagonais desse retângulo: são as assíntotas y=pm43x.
  3. Desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda, passando pelos vértices (pm3,0) e aproximando-se cada vez mais das assíntotas.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole horizontal centrada em (0,0), com vértices em (pm3,0) e assíntotas
y=pmtfrac43x.

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