Utilizando uma propriedade adequada da Transformada de Laplace, calcule L[e^-2 t sen(4 t)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função . Isso está dentro da matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta bem útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar uma propriedade específica da Transformada de Laplace que lida com funções multiplicadas por exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da propriedade que nos ajuda aqui. A Transformada de Laplace de é , onde é a Transformada de Laplace de . No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual é a Transformada de Laplace de L[sin(omega t)] = omegas^2 + omega^2 . A fórmula básica é:
L[sin(4 t)] = 4s^2 + 16
Aqui, , então:

Passo 4

Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 2, substituímos L[e^-2 t sin(4 t)] = 4(s + 2)^2 + 16 por . Como , temos:

Resposta

A Transformada de Laplace de L[e^-2 t sin(4 t)] = 4(s + 2)^2 + 16 é:

Exercícios relacionados