Para a equação:
y^prime prime+(sin x) y=0
Encontre os primeiros 3 termos não nulos da solução em série centrada em x0=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de
y'' + (sin x),y = 0
em torno de x0=0. Vamos usar o método de séries de potências: expandir y em
y=sumn=0^inftyanx^n
e também usar a expansão de Taylor de sin x em torno de zero.

Passo 2

Escrevendo
sin x = x - x^36 + x^5120 - cdots,
temos
(sin x),y = l(x - tfracx^36 + cdotsr)sumn=0^infty anx^n = sumn=0^infty anx^n+1 - tfrac16sumn=0^infty anx^n+3 +cdots
E
y'' = sumn=0^infty n(n-1)an,x^n-2 = summ=-2^infty (m+2)(m+1)am+2,x^m.

Passo 3

Igualando os coeficientes de x^m em
y'' + (sin x),y = 0
obtemos para m>=0 a recorrência
(m+2)(m+1),am+2 ;+;am-1 ;-;tfrac16,am-3 ;+;cdots ;=;0,
onde ak=0 se k<0. Vamos usar apenas os dois primeiros termos de sin x, pois basta até o grau 5 ou 6.

Passo 4

Calculando para m=0,1,2,3,4,5:
  • m=0: 2cdot1,a2+a-1=0 implies a2=0.
  • m=1: 3cdot2,a3+a0=0 implies a3=-tfraca06.
  • m=2: 4cdot3,a4+a1=0 implies a4=-tfraca112.
  • m=3: 5cdot4,a5+a2-tfrac16a0=0 implies a5=tfraca0120.
  • m=4: 6cdot5,a6+a3-tfrac16a1=0 implies a6=tfraca0+a1180.

Passo 5

Como a equação é de segunda ordem, surgem duas constantes livres a0 e a1. Assim temos duas soluções independentes:
  1. Escolhendo a0=1,;a1=0 (solução par):
y1(x) =1 +0cdot x +0cdot x^2 -tfrac16x^3 +0cdot x^4 +tfrac1120x^5 +cdots =1-x^36+x^5120+cdots
  1. Escolhendo a0=0,;a1=1 (solução ímpar):
y2(x) =0 +1cdot x +0cdot x^2 +0cdot x^3 -tfrac112x^4 +0cdot x^5 +tfrac1180x^6 +cdots =x-x^412+x^6180+cdots

Resposta

A solução geral em série até os três primeiros termos não nulos é
y(x) =C1l(1-tfracx^36+tfracx^5120+cdotsr) ;+; C2l(x-tfracx^412+tfracx^6180+cdotsr)

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