Para a equação:
Encontre os primeiros 3 termos não nulos da solução em série centrada em
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de
em torno de
. Vamos usar o método de séries de potências: expandir
em
e também usar a expansão de Taylor de em torno de zero.
e também usar a expansão de Taylor de
Passo 2
Escrevendo
,
temos
temos
E
.
Passo 3
Igualando os coeficientes de
em
obtemos para
a recorrência
onde
se
. Vamos usar apenas os dois primeiros termos de
, pois basta até o grau 5 ou 6.
Passo 4
Calculando para
:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Passo 5
Como a equação é de segunda ordem, surgem duas constantes livres
e
. Assim temos duas soluções independentes:
- Escolhendo
(solução par):
- Escolhendo
(solução ímpar):
Resposta
A solução geral em série até os três primeiros termos não nulos é