Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}-1, t\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\bigl\langle t^{2}-1,\;t\bigr\rangle
em que o conteúdo é “curvas paramétricas em \mathbb{R}^2”. Para esboçar, vamos eliminar o parâmetro e depois indicar com setas para onde o ponto se move à medida que t cresce.

Passo 2

Da definição temos
x = t^{2}-1 \quad\text{e}\quad y = t.
Como y=t, basta substituir em x:
x = y^{2}-1.
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 3

A equação
x = y^{2}-1
é uma parábola com vértice em (-1,0) e concavidade voltada para a direita, pois o coeficiente de y^2 é positivo.

Passo 4

Para indicar a direção do movimento, avaliamos alguns pontos:
\begin{aligned} t=-2&\;\longrightarrow\;(x,y)=(\,(-2)^{2}-1,\,-2)\;=\;(3,\,-2),\\\ t=-1&\;\longrightarrow\;(0,\,-1),\\\ t=0&\;\longrightarrow\;(-1,\,0),\\\ t=1&\;\longrightarrow\;(0,\,1),\\\ t=2&\;\longrightarrow\;(3,\,2). \end{aligned}
Ligue esses pontos por uma curva suave e coloque setas seguindo a sequência (3,-2)\to(0,-1)\to(-1,0)\to(0,1)\to(3,2), que corresponde a t aumentando de -2 a 2.

Passo 5

No esboço final, faça:
  1. Eixos x e y.
  2. Desenhe a parábola abrindo para a direita com vértice em (-1,0).
  3. Marque pelos menos os pontos (3,-2), (0,-1), (-1,0), (0,1), (3,2).
  4. Coloque setas na curva no sentido de subida (de baixo para cima), indicando o crescimento de t.

Resposta

O gráfico é a parábola
x = y^{2}-1,
vértice em (-1,0), concavidade para a direita, com setas apontando no sentido em que y=t cresce (por exemplo, de (3,-2) a (0,-1) a (-1,0) a (0,1) a (3,2)).

Exercícios relacionados