em que a, b, c e d são constantes.
(a) Mostre que a equação dada é homogênea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{a\,y+b}{c\,y+d},
onde a,b,c,d são constantes. O conteúdo principal aqui é reconhecer que a equação não depende explicitamente de x (é autônoma) e que podemos separá-la em x e y. Para resolver, vamos:
mostrar que é do tipo «separável» (às vezes também referido como homogênea nesse contexto em que a taxa de variação depende só de y);
separar as variáveis e integrar;
obter a solução geral implícita;
esboçar o campo de direções e discutir a simetria das curvas integrais.
Passo 2
Como o lado direito
f(y)=\frac{a\,y+b}{c\,y+d}
depende somente de y, a equação é autônoma e, em particular, separável. Basta inverter e separar:
\frac{dx}{dy}=\frac{c\,y+d}{a\,y+b}.
Isso mostra que podemos escrever
dx=\frac{c\,y+d}{a\,y+b}\,dy,
o que é exatamente a separação de variáveis.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a y:
\int dx=\int \frac{c\,y+d}{a\,y+b}\,dy.
Para integrar \displaystyle\frac{c\,y+d}{a\,y+b}, decompomos em frações simples:
x + C =\int\frac{c\,y+d}{a\,y+b}\,dy =\int\Bigl(\frac{c}{a}+\frac{a\,d-b\,c}{a}\,\frac{1}{a\,y+b}\Bigr)dy =\frac{c}{a}\,y+\frac{a\,d-b\,c}{a^2}\,\ln\bigl|a\,y+b\bigr|.
Para o campo de direções, note que em cada altura y a inclinação \tfrac{dy}{dx} é constante igual a \frac{a\,y+b}{c\,y+d}. Assim, em cada linha horizontal o vetor diretor é o mesmo. As curvas integrais são obtidas a partir da solução implícita acima desenhando-as para vários K.
Em geral, não há simetria em relação à origem, pois a equação não é ímpar:
f(-y)=-\frac{a\,y-b}{c\,y-d}\neq -f(y)
a menos de condições especiais (por exemplo b=d=0, caso em que \tfrac{dy}{dx}=a/c e aí tudo fica simétrico). Portanto, para b e d genéricos, as curvas integrais não são simétricas em relação à origem.
Resposta
a) É autônoma e separável (às vezes chamada aqui de homogênea porque \tfrac{dy}{dx} depende só de y).
b) A solução implícita geral é
c) O campo de direções tem inclinações constantes em cada y. As curvas integrais não são, em geral, simétricas em relação à origem (só o seriam se b=d=0).