Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle 3 \operatorname{sen} t, 2 \cos t\rangle

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\langle 3\sin t,\;2\cos t\rangle
e pede o esboço do gráfico no plano xy indicando, por setas, a direção em que t cresce. O conteúdo é curvas paramétricas e a técnica básica é converter em equação cartesiana e identificar pontos-chave e orientação.

Passo 2

A partir de
x=3\sin t,\quad y=2\cos t
temos \sin t = \tfrac{x}{3} e \cos t = \tfrac{y}{2}. Usando a identidade \sin^2t+\cos^2t=1, obtemos a equação cartesiana
\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y}{2}\Bigr)^2 = 1,
que é uma elipse centrada na origem, com semieixo maior 3 no eixo x e semieixo menor 2 no eixo y.

Passo 3

Para esboçar, marque os vértices:
t =0\to \mathbf{r}(0)=\langle 0,2\rangle (ponto superior);
t = \tfrac{\pi}{2} \mathbf{r}(\tfrac{\pi}{2})=\langle 3,0\rangle (ponto direito);
t = \pi \mathbf{r}(\pi)=\langle 0,-2\rangle (ponto inferior);
t = \tfrac{3\pi}{2} \mathbf{r}(\tfrac{3\pi}{2})=\langle -3,0\rangle (ponto esquerdo);
t = 2\pi retorna a \langle0,2\rangle.

Passo 4

À medida que t aumenta de 0 a 2\pi, a curva vai de (0,2) para (3,0), depois para (0,-2), para (-3,0) e volta a (0,2). Esse percurso é feito no sentido horário. No esboço, trace setas nessa direção ao longo da elipse.

Resposta

A curva é a elipse
\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y}{2}\Bigr)^2 = 1
com vértices em (0,\pm2) e (\pm3,0). As setas devem indicar o sentido horário, começando em (0,2), passando por (3,0), (0,-2), (-3,0) e retornando a (0,2).

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