Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle t, \cos 2 t, \operatorname{sen} 2 t\rangle
\mathbf{r}(t)=\langle t, \cos 2 t, \operatorname{sen} 2 t\rangle
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede um esboço no espaço mostrando a direção de crescimento de
. O conteúdo aqui é curva no espaço (curva helicoidal), e vamos precisar obter a equação cartesiana e interpretar geometricamente.
Passo 2
Das componentes
; e
; segue
Logo, a curva está contida no cilindro circular de raio 1 em torno do eixo
.
Passo 3
Como
varia livremente em
e o par
completa uma volta inteira sempre que
aumenta em
, concluímos que ao variar
de
a
a curva dá exatamente uma volta. Portanto trata-se de uma hélice circular de passo axial
isto é, a hélice avança unidades em
a cada volta completa em
.
isto é, a hélice avança
Passo 4
Para indicar a direção de crescimento de
, observe:
em temos
. Para
pequeno,
e
,
logo o ponto move-se no sentido de positivo e
decrescente. Isso corresponde a uma rotação anti-horária no plano
vista do lado de
, ao mesmo tempo em que avança no sentido de
positivo.
em
logo o ponto move-se no sentido de
Resposta
Esboce primeiro o cilindro
com eixo no
. Sobre ele, desenhe uma hélice que avança para a direita (eixo
positivo), dando uma volta completa a cada intervalo de comprimento
em
. Nas curvas marque setas que apontem no sentido de avanço para
positivo e no sentido de rotação anti-horária no plano
.