Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle t, \cos 2 t, \operatorname{sen} 2 t\rangle

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\langle t,\cos(2t),\sin(2t)\rangle,
e pede um esboço no espaço mostrando a direção de crescimento de t. O conteúdo aqui é curva no espaço (curva helicoidal), e vamos precisar obter a equação cartesiana e interpretar geometricamente.

Passo 2

Das componentes \;y=\cos(2t); e \;z=\sin(2t); segue
y^{2}+z^{2}=\cos^{2}(2t)+\sin^{2}(2t)=1.
Logo, a curva está contida no cilindro circular de raio 1 em torno do eixo x.

Passo 3

Como x=t varia livremente em \mathbb{R} e o par (y,z) completa uma volta inteira sempre que 2t aumenta em 2\pi, concluímos que ao variar t de 0 a \pi a curva dá exatamente uma volta. Portanto trata-se de uma hélice circular de passo axial L=\pi,
isto é, a hélice avança \pi unidades em x a cada volta completa em yz.

Passo 4

Para indicar a direção de crescimento de t, observe:
em t=0 temos \mathbf{r}(0)=(0,1,0). Para t>0 pequeno, \sin(2t)>0 e \cos(2t)<1,
logo o ponto move-se no sentido de z positivo e y decrescente. Isso corresponde a uma rotação anti-horária no plano yz vista do lado de +x, ao mesmo tempo em que avança no sentido de x positivo.

Resposta

Esboce primeiro o cilindro
y^{2}+z^{2}=1
com eixo no x. Sobre ele, desenhe uma hélice que avança para a direita (eixo x positivo), dando uma volta completa a cada intervalo de comprimento \pi em x. Nas curvas marque setas que apontem no sentido de avanço para x positivo e no sentido de rotação anti-horária no plano yz.

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