Calcule o volume do conjunto dado
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1, x+y \leq z \leq x+y+2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:1\le x\le2,\;0\le y\le1,\;x+y\le z\le x+y+2\}.
O conteúdo usado é cálculo de volume via integral tripla, ou seja, \mathrm{Vol}(E)=\displaystyle\iiint_{E}1\,dV.

Passo 2

Escrevemos o volume como integral iterada e primeiro integramos em z:
\mathrm{Vol} =\int_{x=1}^{2}\int_{y=0}^{1}\int_{z=x+y}^{\,x+y+2}1\,dz\,dy\,dx =\int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\bigl[(x+y+2)-(x+y)\bigr]\,dy\,dx =\int_{1}^{2}\int_{0}^{1}2\,dy\,dx.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}2\,dy = 2\bigl[y\bigr]_{0}^{1} = 2\cdot(1-0)=2.
Logo a integral reduz a \displaystyle\int_{1}^{2}2\,dx.

Passo 4

Por fim, integramos em x:
\int_{1}^{2}2\,dx = 2\bigl[x\bigr]_{1}^{2} = 2\cdot(2-1)=2.

Resposta

O volume do conjunto é 2.

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