(8 pontos) (a) Enuncie o Teorema do valor intermediário.
(b) Justifique a seguinte afirmação:
“Neste momento, existem dois pontos do equador, diametricamente opostos, tendo exatamente a mesma temperatura.”
(b) Justifique a seguinte afirmação:
“Neste momento, existem dois pontos do equador, diametricamente opostos, tendo exatamente a mesma temperatura.”
Passo 1
O enunciado pede (a) o enunciado do Teorema do Valor Intermediário, que é parte de análise de funções contínuas, e (b) uma justificativa de que existem dois pontos diametralmente opostos no equador com mesma temperatura, usando esse teorema.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário: seja uma função
contínua em
. Então, para todo valor
entre
e
, ou seja, tal que
existe pelo menos um ponto
tal que
Passo 3
Para (b), modelamos a temperatura ao longo do equador por uma função contínua
onde cada ângulo
representa um ponto no equador. Definimos
Como
é contínua e a operação
também,
é contínua em
.
Passo 4
Observamos que
logo
e
têm sinais opostos (ou um deles é zero). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
isto é,
e esses dois pontos são diametralmente opostos.
Resposta
(a) Seja
contínua em
. Para todo
entre
e
existe
tal que
.
(b) Definindo , nota-se que
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
com
, ou seja, dois pontos diametricamente opostos no equador têm a mesma temperatura.
(b) Definindo