(8 pontos) (a) Enuncie o Teorema do valor intermediário.
(b) Justifique a seguinte afirmação:
“Neste momento, existem dois pontos do equador, diametricamente opostos, tendo exatamente a mesma temperatura.”

Passo 1

O enunciado pede (a) o enunciado do Teorema do Valor Intermediário, que é parte de análise de funções contínuas, e (b) uma justificativa de que existem dois pontos diametralmente opostos no equador com mesma temperatura, usando esse teorema.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário: seja uma função f contínua em [a,b]. Então, para todo valor L entre f(a) e f(b), ou seja, tal que
\min\{f(a),f(b)\}\le L\le \max\{f(a),f(b)\},
existe pelo menos um ponto c\in[a,b] tal que
f\text{(c)}=L.

Passo 3

Para (b), modelamos a temperatura ao longo do equador por uma função contínua
T\colon [0,2\pi]\to\mathbb{R},
onde cada ângulo \theta representa um ponto no equador. Definimos
g(\theta)=T(\theta)-T(\theta+\pi).
Como T é contínua e a operação T(\theta+\pi) também, g é contínua em [0,\pi].

Passo 4

Observamos que
g(0)=T(0)-T(\pi), \quad g(\pi)=T(\pi)-T(2\pi)=T(\pi)-T(0)=-g(0),
logo g(0) e g(\pi) têm sinais opostos (ou um deles é zero). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \theta_0\in(0,\pi) tal que
g(\theta_0)=0,
isto é,
T(\theta_0)=T(\theta_0+\pi),
e esses dois pontos são diametralmente opostos.

Resposta

(a) Seja f contínua em [a,b]. Para todo L entre f(a) e f(b) existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=L.
(b) Definindo g(\theta)=T(\theta)-T(\theta+\pi), nota-se que g(0)=-g(\pi). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \theta_0 com g(\theta_0)=0, ou seja, dois pontos diametricamente opostos no equador têm a mesma temperatura.

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