Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle\operatorname{sen} t, 3, \cos t\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em \mathbb{R}^3 \mathbf{r}(t)=\langle \sin t,\,3,\,\cos t\rangle
e pede o esboço do gráfico, indicando a direção em que t cresce. O conteúdo é curvas paramétricas em \mathbb{R}^3; vamos identificar a forma geométrica e depois ver como se move conforme t varia.

Passo 2

Da parametrização temos
x=\sin t,\quad y=3,\quad z=\cos t.
Como
x^2+z^2=(\sin t)^2+(\cos t)^2=1,
a projeção no plano xz é um círculo de raio 1. Como y=3 é constante, a curva é esse círculo no plano paralelo ao plano xz situado em y=3, com centro em (0,3,0).

Passo 3

Para determinar a orientação, avaliamos alguns valores de t:
\mathbf{r}(0)=\langle 0,3,1\rangle,\quad \mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\langle 1,3,0\rangle,\quad \mathbf{r}(\pi)=\langle 0,3,-1\rangle,\quad \mathbf{r}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\langle -1,3,0\rangle.
Logo, conforme t cresce a curva vai de (0,3,1) para (1,3,0), depois para (0,3,-1) e assim por diante.

Passo 4

Para esboçar, desenhe:
• Um plano paralelo a xz em y=3.
• Nele, um círculo de raio 1 centrado em (0,3,0).
• Marque os pontos (0,3,1), (1,3,0), (0,3,-1), (-1,3,0).
• Trace setas passando por esses pontos na ordem indicada no passo anterior, mostrando a direção de crescimento de t.

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 no plano y=3, centrado em (0,3,0), parametrizado por
x=\sin t,\quad z=\cos t,
orientado de (0,3,1) para (1,3,0) para (0,3,-1) etc., conforme t aumenta.

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