Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}-1, t\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle=\langle t^{2}-1,\;t\rangle
e pede um esboço do gráfico no plano xy indicando a direção em que t cresce. O conteúdo é curvas paramétricas e para desenhar basta: (1) eliminar o parâmetro, (2) identificar forma e vértice, (3) marcar pontos de amostra e (4) indicar setas segundo o crescimento de t.

Passo 2

Eliminamos t usando y=t. Então
x = t^{2}-1 = y^{2}-1
Portanto a curva é a parábola
x = y^{2}-1,
com eixo paralelo ao eixo x.

Passo 3

Identificamos a forma e o vértice:
  • Vértice em (-1,0)
  • Abre para a direita (porque x cresce com y^{2})
  • y varia sobre todos os reais

Passo 4

Escolhemos alguns valores de t e calculamos (x,y):
\begin{aligned} t=-2 &\;\longrightarrow\;(x,y)=(3,\,-2)\\\ t=-1 &\;\longrightarrow\;(x,y)=(0,\,-1)\\\ t=0 &\;\longrightarrow\;(x,y)=(-1,\,0)\\\ t=1 &\;\longrightarrow\;(x,y)=(0,\,1)\\\ t=2 &\;\longrightarrow\;(x,y)=(3,\,2) \end{aligned}

Passo 5

Para indicar a direção de t crescente, note que conforme t aumenta, y=t cresce. Logo o ponto percorre a parábola de baixo para cima. Colocamos setas apontando nesse sentido.

Resposta

Esboço (vista no plano xy):
↑ y
|
2 | •(3,2)
| ↗
1 | •(0,1)
| ↗
0\bullet(-1,0)↗
|
−1 | •(0,−1)
| ↗
−2 | •(3,−2)
|
+────────────────→ x
A curva é a parábola x=y^{2}-1 e as setas indicam o sentido de t crescente (de baixo para cima).

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