Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}-1, t\right\rangle
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}-1, t\right\rangle
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede um esboço do gráfico no plano
indicando a direção em que
cresce. O conteúdo é curvas paramétricas e para desenhar basta: (1) eliminar o parâmetro, (2) identificar forma e vértice, (3) marcar pontos de amostra e (4) indicar setas segundo o crescimento de
.
Passo 2
Eliminamos
usando
. Então
Portanto a curva é a parábola
com eixo paralelo ao eixo
.
Passo 3
Identificamos a forma e o vértice:
- Vértice em
- Abre para a direita (porque
cresce com ) -
varia sobre todos os reais
Passo 4
Escolhemos alguns valores de
e calculamos
:
Passo 5
Para indicar a direção de
crescente, note que conforme
aumenta,
cresce. Logo o ponto percorre a parábola de baixo para cima. Colocamos setas apontando nesse sentido.
Resposta
Esboço (vista no plano
):
↑ y
|
2 | •(3,2)
| ↗
1 | •(0,1)
| ↗
(-1,0)↗
|
−1 | •(0,−1)
| ↗
−2 | •(3,−2)
|
+────────────────→ x
|
2 | •(3,2)
| ↗
1 | •(0,1)
| ↗
|
−1 | •(0,−1)
| ↗
−2 | •(3,−2)
|
+────────────────→ x
A curva é a parábola
e as setas indicam o sentido de
crescente (de baixo para cima).