Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\ln t \mathbf{j}+\frac{1}{t-2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
\mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\ln t\,\mathbf{j}+\frac{1}{t-2}\,\mathbf{k}.
Para encontrar o domínio, precisamos achar todos os valores de t em \mathbb{R} para os quais cada componente de \mathbf{r}(t) está bem definida.

Passo 2

Analisando cada componente:
  1. \cos t está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  2. \ln t exige que o argumento seja positivo, isto é, t>0. 3. \displaystyle \frac{1}{t-2} exige que o denominador não seja zero, ou seja, t\neq 2.

Passo 3

Agora fazemos a interseção das condições:
t>0 \quad\text{e}\quad t\neq 2.
Isso significa que t pode variar de 0 a 2 (sem incluir 0 nem 2) ou de 2 ao infinito.

Resposta

O domínio de \mathbf{r}(t) é
(0,2)\,\cup\,(2,\infty).

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