Considere \mathbb{R}^{2} com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar e as seguintes bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}: B=\{(1,2),(-2,-3)\} e C=\{(-3,4),(-4,5)\}.
(a) 1,5 \left(1,5\right. pontos) Encontre [I]_{C}^{B}, isto é, a matriz de mudança de base da base B para a base C - como visto em aula.
(b) 0,4 \left(0,5\right. pontes) Um vetor v \in \mathbb{R}^{2} tal que [v]_{B}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5\end{array}\right], determine [v]_{C} utilizando a matriz [I]_{C}^{B}.
(c) (0.5 pontos) Determine o vetor v do item anterior.
Passo 1
O enunciado pede três coisas em \mathbb{R}^2 com as bases ordenadas B=\{(1,2),\,(-2,-3)\} e C=\{(-3,4),\,(-4,5)\}:
(a) a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B} que leva coordenadas em B para coordenadas em C;
(b) dadas as coordenadas de um vetor v em B, [v]_{B}=\bigl(2,5\bigr), encontrar [v]_{C} usando [I]_{C}^{B};
(c) obter o vetor v em coordenadas padrão.
Passo 2
Para montar [I]_{C}^{B}, basta expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C. Se