Considere \mathbb{R}^{2} com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar e as seguintes bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}: B=\{(1,2),(-2,-3)\} e C=\{(-3,4),(-4,5)\}.
(a) 1,5 \left(1,5\right. pontos) Encontre [I]_{C}^{B}, isto é, a matriz de mudança de base da base B para a base C - como visto em aula.
(b) 0,4 \left(0,5\right. pontes) Um vetor v \in \mathbb{R}^{2} tal que [v]_{B}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5\end{array}\right], determine [v]_{C} utilizando a matriz [I]_{C}^{B}.
(c) (0.5 pontos) Determine o vetor v do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede três coisas em \mathbb{R}^2 com as bases ordenadas B=\{(1,2),\,(-2,-3)\} e C=\{(-3,4),\,(-4,5)\}:
(a) a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B} que leva coordenadas em B para coordenadas em C;
(b) dadas as coordenadas de um vetor v em B, [v]_{B}=\bigl(2,5\bigr), encontrar [v]_{C} usando [I]_{C}^{B};
(c) obter o vetor v em coordenadas padrão.

Passo 2

Para montar [I]_{C}^{B}, basta expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C. Se
\mathbf b_j = \alpha\,\mathbf c_1 + \beta\,\mathbf c_2,
então \bigl[\mathbf b_j\bigr]_{C} = \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} será a j-ésima coluna de [I]_{C}^{B}.

Passo 3

Para \mathbf b_1=(1,2) resolvemos o sistema
-3\alpha -4\beta = 1, \qquad 4\alpha +5\beta = 2.
Dessa forma obtemos \alpha=13 e \beta=-10, isto é,
\bigl[\mathbf b_1\bigr]_{C} = \begin{pmatrix}13\\\ -10\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \mathbf b_2=(-2,-3) resolvemos
-3\alpha -4\beta = -2, \qquad 4\alpha +5\beta = -3,
e achamos \alpha=-22, \beta=17. Logo
\bigl[\mathbf b_2\bigr]_{C} = \begin{pmatrix}-22\\\ 17\end{pmatrix}.
Assim a matriz de mudança de base é
[I]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 13 & -22\\\\ -10 & 17 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para obter [v]_{C}, multiplicamos
[v]_{C} = [I]_{C}^{B}\,[v]_{B} = \begin{pmatrix} 13 & -22\\\\ -10 & 17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\cdot2 + (-22)\cdot5\\\\ -10\cdot2 + 17\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -84\\\\ 65 \end{pmatrix}.

Passo 6

Por fim, para achar v em coordenadas padrão, podemos usar as coordenadas em B:
v = 2\,(1,2) + 5\,(-2,-3) = (2-10,\;4-15) = (-8,-11).

Resposta

(a)
[I]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 13 & -22\\\\ -10 & 17 \end{pmatrix}.
(b)
[v]_{C} = \begin{pmatrix} -84\\\\ 65 \end{pmatrix}.
(c)
v = (-8,-11).

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