Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel , quando o parâmetro varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: .
Passo 1
O enunciado pede para esboçar duas curvas paramétricas definidas por um ponto P(x,y,z) em função de t, em cada caso eliminar o parâmetro e obter a equação cartesiana. O conteúdo envolve curvas paramétricas, eliminação do parâmetro e reconhecimento de formas conhecidas (círculo e parábola).
Passo 2
No primeiro item temos
$$
x=4\cos(t),
y=4\sin(t),
0\le t\le2\pi,
z=2.
$$
Para eliminar o parâmetro usamos a identidade trigonométrica x=4cos(t), y=4sin(t), 0<= t<=2pi, z=2 . Dividindo as duas expressões por 4 e elevando ao quadrado e somando, obtemos
cos^2(t)+sin^2(t)=1
que simplifica para x^216+y^216=1 . Como x^2+y^2=16 é constante, a curva é um círculo de raio 4 centrado na origem do plano paralelo a xy na altura z=2.
Passo 3
No segundo item temos
$$
x=t+1,
y=t^2+4,
z=2,
-\infty<t<+\infty.
$$
Isolamos x=t+1, y=t^2+4, z=2, -infty em função de t: x. Substituindo em t=x-1 dá
y
Portanto a curva é uma parábola com vértice em y=(x-1)^2+4 no plano (1,4), aberta na direção de z=2 crescente.
Passo 4
Em cada caso o esboço é simples: primeiro um círculo de raio 4 no plano z=2, depois uma parábola no mesmo plano, com vértice em (1,4,2) e concavidade voltada para cima.
Resposta
Para o círculo: x^2+y^2=16,;z=2 Para a parábola: y=(x-1)^2+4,;z=2