Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: cx=4 cos (t) y=4 sen(t), 0 <= t <= 2 pi ; c) z=2cx=t+1 y=t^2+4,-infty.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar duas curvas paramétricas definidas por um ponto P(x,y,z) em função de t, em cada caso eliminar o parâmetro e obter a equação cartesiana. O conteúdo envolve curvas paramétricas, eliminação do parâmetro e reconhecimento de formas conhecidas (círculo e parábola).

Passo 2

No primeiro item temos
$$
x=4\cos(t),
y=4\sin(t),
0\le t\le2\pi,
z=2.
$$
Para eliminar o parâmetro usamos a identidade trigonométrica x=4cos(t), y=4sin(t), 0<= t<=2pi, z=2 . Dividindo as duas expressões por 4 e elevando ao quadrado e somando, obtemos
cos^2(t)+sin^2(t)=1
que simplifica para x^216+y^216=1 . Como x^2+y^2=16 é constante, a curva é um círculo de raio 4 centrado na origem do plano paralelo a xy na altura z=2.

Passo 3

No segundo item temos
$$
x=t+1,
y=t^2+4,
z=2,
-\infty<t<+\infty.
$$
Isolamos x=t+1, y=t^2+4, z=2, -infty em função de t: x. Substituindo em t=x-1
y
Portanto a curva é uma parábola com vértice em y=(x-1)^2+4 no plano (1,4), aberta na direção de z=2 crescente.

Passo 4

Em cada caso o esboço é simples: primeiro um círculo de raio 4 no plano z=2, depois uma parábola no mesmo plano, com vértice em (1,4,2) e concavidade voltada para cima.

Resposta

Para o círculo: x^2+y^2=16,;z=2 Para a parábola: y=(x-1)^2+4,;z=2

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