Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens.
Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = 2cos(t), y = 2sen(t),
com t variando em 0<= t<=2pi. O conteúdo aqui é curvas paramétricas, em que precisamos (a) obter a forma cartesiana eliminando o parâmetro e (b) esboçar o gráfico identificando o tipo de curva e sua orientação.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro usamos a identidade trigonométrica
cos^2(t)+sen^2(t)=1
Como x=2cos(t) e y=2sen(t), temos
cos(t)=x2, sen(t)=y2

Passo 3

Substituindo na identidade obtemos
l(x2r)^2 + l(y2r)^2 = 1 Longrightarrow x^24 + y^24 = 1 Longrightarrow x^2 + y^2 = 4
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 4

Para esboçar, note que x^2+y^2=4 é um círculo de raio 2 centrado em (0,0). Como t vai de 0 a 2pi, o ponto P percorre todo o círculo exatamente uma vez no sentido anti-horário, começando em t=0 no ponto (2,0) e voltando a ele em t=2pi. No esboço, basta desenhar o círculo de raio 2 e indicar uma seta no sentido anti-horário.

Resposta

Equação cartesiana:
x^2+y^2=4
Gráfico: círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido em sentido anti-horário de (2,0) de t=0 até (2,0) em t=2pi.

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