Calcule, se existir os seguintes limites
lim x 0 cos (xsen(x)-2 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0cos!gl(xsen(x)-2xgr)
O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo expansão em série de Taylor para funções elementares.

Passo 2

Expandimos sen(x) em série de Taylor em torno de x=0:
sen(x)=x-x^36+O(x^5)
Logo,
sen(x)-2x = l(x-x^36+O(x^5)r)-2x = -x-x^36+O(x^5)

Passo 3

Calculamos a fração interna do cosseno:
xsen(x)-2x = x-xl(1+x^26+O(x^4)r) = -11+x^26+O(x^4) = -l(1-x^26+O(x^4)r)
À medida que xto0, essa expressão tende a -1.

Passo 4

Substituindo no cosseno, temos
cos!l(tfracxsen(x)-2xr)to cos(-1)
Como cos(-1)=cos(1), o limite existe e vale cos(1).

Resposta

cos(1)

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