Indique os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
\vec{f}(t)=\left(\sqrt{t}, \frac{-1}{t^{2}-1}, \frac{1}{t^{2}-4}\right),

Passo 1

O enunciado pede os intervalos onde a função vetorial \displaystyle \vec f(t)=\bigl(\sqrt{t},\,\tfrac{-1}{t^{2}-1},\,\tfrac{1}{t^{2}-4}\bigr)
é contínua. Como uma função vetorial é contínua exatamente onde todas as suas componentes o são, vamos achar o domínio de cada componente e depois intersectar esses domínios.

Passo 2

Analisando a primeira componente \sqrt{t}:
– A raiz quadrada está definida e é contínua para t\ge 0.
Logo o domínio dessa componente é
A = [0,\infty).

Passo 3

Analisando a segunda componente \displaystyle \frac{-1}{t^{2}-1}:
– É uma função racional, contínua sempre que o denominador for diferente de zero.
t^{2}-1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t\neq \pm 1.
Logo o domínio dessa componente é
B = \mathbb{R}\setminus\{-1,\,1\}.

Passo 4

Analisando a terceira componente \displaystyle \frac{1}{t^{2}-4}:
– Também é racional, contínua sempre que
t^{2}-4 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t\neq \pm 2.
Logo o domínio dessa componente é
C = \mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}.

Passo 5

A continuidade de \vec f ocorre em
A \;\cap\; B \;\cap\; C = [0,\infty)\;\cap\;\bigl(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\bigr)\;\cap\;\bigl(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\bigr).
Como [0,\infty) já exclui t<0, basta remover de [0,\infty) os pontos t=1 e t=2.
Portanto os intervalos de continuidade são
[0,1)\;\cup\;(1,2)\;\cup\;(2,\infty).

Resposta

Os intervalos de continuidade de \vec f(t) são
[0,1)\;\cup\;(1,2)\;\cup\;(2,\infty).

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