Questão 3 ( 1 ponto cada item). Considere a função f dada por
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos x e y, se houverem.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
e pede, separadamente, as informações i) a v):
i) determinar o domínio e as interseções com os eixos x e y;
ii) encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis máximos/minimos;
iii) achar os intervalos de concavidade (para cima/para baixo) e os pontos de inflexão;
iv) determinar assíntotas horizontais, verticais e inclinadas (se houver);
v) esboçar o gráfico (dar os pontos e comportamento para desenhar).
As informações relevantes fornecidas já estão na expressão da função: numerador x e denominador x^{2}+1. A resolução começa a partir dessa expressão.

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos.
  • Domínio: o denominador é x^{2}+1. Como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, não há zeros do denominador. Logo o domínio é
\mathbb{R}.
  • Interseção com o eixo x (zeros): resolver \dfrac{x}{x^{2}+1}=0. Como o denominador nunca é zero, o zero ocorre quando o numerador é zero, isto é x=0. Assim a interseção com o eixo x é o ponto (0,0).
  • Interseção com o eixo y: é o valor f(0). Calculando,
f(0)=\frac{0}{0^{2}+1}=0,
logo a interseção com o eixo y também é (0,0).
Resumo: domínio \mathbb{R}; única interseção com os eixos em (0,0).

Passo 3

Derivada primeira e intervalos de monotonicidade (regra e cálculo detalhado).
Conceito rápido: para saber onde a função cresce ou decresce calculamos f'(x). Se f'(x)>0 em um intervalo a função é crescente ali; se f'(x)<0 é decrescente.
Usamos a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x e v(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x. Aplicando:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}+1)-x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Análise do sinal: o denominador (x^{2}+1)^{2} é sempre positivo. Assim o sinal de f'(x) depende só do numerador 1-x^{2}.
  • 1-x^{2}>0 quando |x|<1.
  • 1-x^{2}=0 quando x=\pm 1.
  • 1-x^{2}<0 quando |x|>1.
Portanto:
  • f'(x)>0 em (-1,1) f é crescente em (-1,1).
  • f'(x)<0 em (-\infty,-1) e em (1,\infty) f é decrescente nesses intervalos.
Pontos críticos: x=\pm 1 (onde f'(x)=0). Vamos classificá-los no próximo passo.

Passo 4

Classificação de máximos e mínimos (utilizando a troca de sinal de f').
Regra prática: se f' passa de negativo para positivo em um ponto crítico, é mínimo local; se passa de positivo para negativo, é máximo local.
  • Em x=-1: para x<-1 temos f'<0 (decrescente) e para -1<x<1 temos f'>0 (crescente). Logo f' muda de negativo para positivo em x=-1 ⇒ mínimo local em x=-1.
Calcular valor:
f(-1)=\frac{-1}{(-1)^{2}+1}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto mínimo local em (-1,-\tfrac{1}{2}).
  • Em x=1: para -1<x<1 temos f'>0 e para x>1 temos f'<0. Logo f' muda de positivo para negativo em x=1 ⇒ máximo local em x=1.
Calcular valor:
f(1)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Portanto máximo local em (1,\tfrac{1}{2}).
Resumo: mínimo local em x=-1 com f(-1)=-\tfrac{1}{2}; máximo local em x=1 com f(1)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Derivada segunda (cálculo detalhado) para estudar concavidade.
Começamos de f'(x)= (1-x^{2})(x^{2}+1)^{-2}. Usamos a regra do produto (ou derivação direta do quociente); aqui faço por produto: f'(x)=u(x)v(x) com u(x)=1-x^{2} e v(x)=(x^{2}+1)^{-2}. Então u'(x)=-2x. Para v, usando cadeia, v'(x)=-2(x^{2}+1)^{-3}\cdot 2x = -4x(x^{2}+1)^{-3}.
Agora
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =(-2x)(x^{2}+1)^{-2}+(1-x^{2})\big(-4x(x^{2}+1)^{-3}\big).
Colocando em fator comum (x^{2}+1)^{-3} e fator -2x:
f''(x)=(-2x)(x^{2}+1)^{-3}\big[(x^{2}+1)+2(1-x^{2})\big].
No colchete:
(x^{2}+1)+2(1-x^{2})=x^{2}+1+2-2x^{2}=3-x^{2}.
Logo
f''(x)=\frac{-2x(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.

Passo 6

Intervalos de concavidade e pontos de inflexão (análise do sinal de f'').
O denominador (x^{2}+1)^{3} é sempre positivo, então o sinal de f''(x) é o sinal de -2x(3-x^{2}).
Zeramos f''(x):
-2x(3-x^{2})=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=\pm\sqrt{3}.
Fazendo tabela de sinais (ou testando intervalos):
  • Para x<-\sqrt{3} (por exemplo x=-2): x<0 e 3-x^{2}<0 -2x>0 e 3-x^{2}<0 ⇒ produto <0. Então f''(x)<0: concavidade para baixo em (-\infty,-\sqrt{3}).
  • Para -\sqrt{3}<x<0 (por exemplo x=-1): x<0 e 3-x^{2}>0 ⇒ produto >0. Então f''(x)>0: concavidade para cima em (- \sqrt{3},0).
  • Para 0<x<\sqrt{3} (por exemplo x=1): x>0 e 3-x^{2}>0 -2x<0 e 3-x^{2}>0 ⇒ produto <0. Então f''(x)<0: concavidade para baixo em (0,\sqrt{3}).
  • Para x>\sqrt{3} (por exemplo x=2): x>0 e 3-x^{2}<0 -2x<0 e 3-x^{2}<0 ⇒ produto >0. Então f''(x)>0: concavidade para cima em (\sqrt{3},\infty).
Portanto:
  • Concava para baixo em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3}).
  • Concava para cima em (-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty).
Pontos de inflexão são pontos onde f'' muda de sinal: x=-\sqrt{3},\,0,\,\sqrt{3}. Valores correspondentes (calcular f(x)):
f(\pm\sqrt{3})=\frac{\pm\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}+1}=\frac{\pm\sqrt{3}}{3+1}=\pm\frac{\sqrt{3}}{4},
f(0)=0.
Logo pontos de inflexão em \left(-\sqrt{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right),\\ (0,0),\\ \left(\sqrt{3},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right).

Passo 7

Assíntotas (horizontais, verticais e inclinadas).
  • Assíntotas verticais: ocorrem quando o denominador zera e o numerador não, levando a limite infinito. Aqui x^{2}+1\neq 0 para todo x. Portanto não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: calcular limites nas infinitudes.
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1+1/x^{2}}=0,
\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1/x}{1+1/x^{2}}=0.
Portanto a reta y=0 é assíntota horizontal (a função tende a 0 quando |x|\to\infty). Note que a função corta essa assíntota no ponto (0,0) — isso é possível.
  • Assíntotas inclinadas (obliquas): para haver uma assíntota oblíqua precisamos que o quociente polinomial por divisão tenha um termo linear quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador menos 1. Aqui \deg(\text{num})=1 e \deg(\text{den})=2 (den maior), logo não há assíntota oblíqua além da horizontal encontrada. Conclusão: nenhuma assíntota inclinada.

Passo 8

Esboço do gráfico (instruções claras para desenhar, pontos-chave e comportamento).
Pontos e valores úteis para desenhar:
  • Intercepto: (0,0).
  • Mínimo local: (-1,-\tfrac{1}{2}).
  • Máximo local: (1,\tfrac{1}{2}).
  • Pontos de inflexão: \left(-\sqrt{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\approx(-1{,}732,-0{,}433), (0,0), \left(\sqrt{3},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\approx(1{,}732,0{,}433).
  • Alguns pontos adicionais para referência: f(2)=\tfrac{2}{5}=0{,}4, f(-2)=-0{,}4.
Comportamento geral para desenhar:
  • Para x\to -\infty, f(x)\to 0^{-} (aproxima de 0 pelo lado negativo).
  • De -\infty até -\sqrt{3}: curva está concava para baixo e aproximando 0 por baixo.
  • De -\sqrt{3} até -1: concava para cima, chegando ao mínimo em (-1,-\tfrac{1}{2}).
  • De -1 até 0: cresce e é concava para cima, cruza a origem em (0,0) (ponto de inflexão aí).
  • De 0 até 1: continua crescendo, agora concava para baixo, atinge máximo em (1,\tfrac{1}{2}).
  • De 1 até \sqrt{3}: decresce e é concava para baixo.
  • De \sqrt{3} em diante: decresce e torna-se concava para cima, aproximando y=0^{+} quando x\to\infty.
Com esses pontos e informações de concavidade e assíntota y=0 você consegue traçar o esboço: ramo esquerdo abaixo do eixo, mínimo em (-1,-0{,}5), sobe cruzando a origem, atinge máximo em (1,0{,}5) e decresce novamente aproximando a linha y=0.

Resposta

i) Domínio: \mathbb{R}. Interseções: eixo x e y em (0,0).
ii) Crescente em (-1,1). Decrescente em (-\infty,-1) e (1,\infty). Mínimo local em \left(-1,-\tfrac{1}{2}\right). Máximo local em \left(1,\tfrac{1}{2}\right).
iii) Concava para baixo em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3}). Concava para cima em (-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty). Pontos de inflexão em \left(-\sqrt{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right),\\ (0,0),\\ \left(\sqrt{3},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right).
iv) Assíntotas verticais: nenhuma. Assíntota horizontal: y=0. Assíntotas inclinadas: nenhuma.
v) Esboço: cruza em (0,0); ramo à esquerda negativo aproximando y=0^{-}; mínimo em (-1,-\tfrac{1}{2}); sobe passando por (-\,\sqrt{3},-\,\tfrac{\sqrt{3}}{4}) (inflexão) até (0,0); continua até máximo em (1,\tfrac{1}{2}); decresce passando por (\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{4}) (inflexão) e tende a y=0^{+} para x\to\infty.

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