Questão 3 ( 1 ponto cada item). Considere a função
dada por
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos
e
, se houverem.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, separadamente, as informações i) a v):
i) determinar o domínio e as interseções com os eixos
e
;
ii) encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis máximos/minimos;
iii) achar os intervalos de concavidade (para cima/para baixo) e os pontos de inflexão;
iv) determinar assíntotas horizontais, verticais e inclinadas (se houver);
v) esboçar o gráfico (dar os pontos e comportamento para desenhar).
As informações relevantes fornecidas já estão na expressão da função: numerador
e denominador
. A resolução começa a partir dessa expressão.
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos.
- Domínio: o denominador é
. Como para todo , não há zeros do denominador. Logo o domínio é
-
Interseção com o eixo
(zeros): resolver . Como o denominador nunca é zero, o zero ocorre quando o numerador é zero, isto é . Assim a interseção com o eixo é o ponto . -
Interseção com o eixo
: é o valor . Calculando,
logo a interseção com o eixo
também é
.
Resumo: domínio
; única interseção com os eixos em
.
Passo 3
Derivada primeira e intervalos de monotonicidade (regra e cálculo detalhado).
Conceito rápido: para saber onde a função cresce ou decresce calculamos
. Se
em um intervalo a função é crescente ali; se
é decrescente.
Usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Análise do sinal: o denominador
é sempre positivo. Assim o sinal de
depende só do numerador
.
-
quando . -
quando . -
quando .
Portanto:
-
em ⇒ é crescente em . -
em e em ⇒ é decrescente nesses intervalos.
Pontos críticos:
(onde
). Vamos classificá-los no próximo passo.
Passo 4
Classificação de máximos e mínimos (utilizando a troca de sinal de
).
Regra prática: se
passa de negativo para positivo em um ponto crítico, é mínimo local; se passa de positivo para negativo, é máximo local.
- Em
: para temos (decrescente) e para temos (crescente). Logo muda de negativo para positivo em ⇒ mínimo local em .
Calcular valor:
Portanto mínimo local em
.
- Em
: para temos e para temos . Logo muda de positivo para negativo em ⇒ máximo local em .
Calcular valor:
Portanto máximo local em
.
Resumo: mínimo local em
com
; máximo local em
com
.
Passo 5
Derivada segunda (cálculo detalhado) para estudar concavidade.
Começamos de
. Usamos a regra do produto (ou derivação direta do quociente); aqui faço por produto:
com
e
. Então
. Para
, usando cadeia,
.
Agora
Colocando em fator comum
e fator
:
No colchete:
Logo
Passo 6
Intervalos de concavidade e pontos de inflexão (análise do sinal de
).
O denominador
é sempre positivo, então o sinal de
é o sinal de
.
Zeramos
:
Fazendo tabela de sinais (ou testando intervalos):
-
Para
(por exemplo ): e ⇒ e ⇒ produto . Então : concavidade para baixo em . -
Para
(por exemplo ): e ⇒ produto . Então : concavidade para cima em . -
Para
(por exemplo ): e ⇒ e ⇒ produto . Então : concavidade para baixo em . -
Para
(por exemplo ): e ⇒ e ⇒ produto . Então : concavidade para cima em .
Portanto:
- Concava para baixo em
. - Concava para cima em
.
Pontos de inflexão são pontos onde
muda de sinal:
. Valores correspondentes (calcular
):
Logo pontos de inflexão em
.
Passo 7
Assíntotas (horizontais, verticais e inclinadas).
-
Assíntotas verticais: ocorrem quando o denominador zera e o numerador não, levando a limite infinito. Aqui
para todo . Portanto não há assíntotas verticais. -
Assíntotas horizontais: calcular limites nas infinitudes.
Portanto a reta
é assíntota horizontal (a função tende a 0 quando
). Note que a função corta essa assíntota no ponto
— isso é possível.
- Assíntotas inclinadas (obliquas): para haver uma assíntota oblíqua precisamos que o quociente polinomial por divisão tenha um termo linear quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador menos 1. Aqui
e (den maior), logo não há assíntota oblíqua além da horizontal encontrada. Conclusão: nenhuma assíntota inclinada.
Passo 8
Esboço do gráfico (instruções claras para desenhar, pontos-chave e comportamento).
Pontos e valores úteis para desenhar:
- Intercepto:
. - Mínimo local:
. - Máximo local:
. - Pontos de inflexão:
, , . - Alguns pontos adicionais para referência:
, .
Comportamento geral para desenhar:
- Para
, (aproxima de 0 pelo lado negativo). - De
até : curva está concava para baixo e aproximando 0 por baixo. - De
até : concava para cima, chegando ao mínimo em . - De
até : cresce e é concava para cima, cruza a origem em (ponto de inflexão aí). - De
até : continua crescendo, agora concava para baixo, atinge máximo em . - De
até : decresce e é concava para baixo. - De
em diante: decresce e torna-se concava para cima, aproximando quando .
Com esses pontos e informações de concavidade e assíntota
você consegue traçar o esboço: ramo esquerdo abaixo do eixo, mínimo em
, sobe cruzando a origem, atinge máximo em
e decresce novamente aproximando a linha
.
Resposta
i) Domínio:
. Interseções: eixo
e
em
.
ii) Crescente em . Decrescente em
e
. Mínimo local em
. Máximo local em
.
iii) Concava para baixo em . Concava para cima em
. Pontos de inflexão em
.
iv) Assíntotas verticais: nenhuma. Assíntota horizontal: . Assíntotas inclinadas: nenhuma.
v) Esboço: cruza em ; ramo à esquerda negativo aproximando
; mínimo em
; sobe passando por
(inflexão) até
; continua até máximo em
; decresce passando por
(inflexão) e tende a
para
.
ii) Crescente em
iii) Concava para baixo em
iv) Assíntotas verticais: nenhuma. Assíntota horizontal:
v) Esboço: cruza em