Determine a equação do plano que contém a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a equação de um plano que contém a curva dada por
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar relacionar as coordenadas
,
e
de forma que elas satisfaçam a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes da curva paramétrica
. Isso significa que:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
,
e
que represente o plano.
Passo 3
Vamos começar isolando o parâmetro
nas equações de
e
para eliminá-lo:
- De
, temos . - De
, substituindo por , fica .
Agora, temos uma relação entre
e
.
Passo 4
A equação
já é uma relação linear entre
e
, que pode ser reorganizada para a forma padrão da equação de um plano. Vamos rearranjar:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Essa é a equação do plano na forma geral
.
Passo 5
Verificamos que toda a curva
satisfaz a equação
. Isso confirma que o plano determinado contém a curva dada.
Resposta
A equação do plano que contém a curva é
.