Determine a equação do plano que contém a curva r(t)=(2 t, sen(t), t+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a equação de um plano que contém a curva dada por r(t) = (2t, sin(t), t + 1). Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar relacionar as coordenadas x, y e z de forma que elas satisfaçam a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da curva paramétrica r(t) = (2t, sin(t), t + 1). Isso significa que:
  • x = 2t
  • y = sin(t)
  • z = t + 1
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t e encontrar uma relação direta entre x, y e z que represente o plano.

Passo 3

Vamos começar isolando o parâmetro t nas equações de x e z para eliminá-lo:
  • De x = 2t, temos t = x2.
  • De z = t + 1, substituindo t por x2, fica z = x2 + 1.
Agora, temos uma relação entre x e z.

Passo 4

A equação z = x2 + 1 já é uma relação linear entre x e z, que pode ser reorganizada para a forma padrão da equação de um plano. Vamos rearranjar:
z - x2 = 1
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
2z - x = 2
Rearranjando:
x - 2z + 2 = 0
Essa é a equação do plano na forma geral ax + by + cz + d = 0.

Passo 5

Verificamos que toda a curva r(t) satisfaz a equação x - 2z + 2 = 0. Isso confirma que o plano determinado contém a curva dada.

Resposta

A equação do plano que contém a curva é x - 2z + 2 = 0.

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