Esboce o gráfico das curvas.
beta(t)=(cos t, sin t,(1 / 2) t), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida por beta(t) = (cos t, sin t, 12 t), onde t pode ser qualquer número real. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas cos t e sin t se comportam, além de como a componente 12 t afeta a curva no eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas primeiras componentes da curva: cos t e sin t. Essas funções descrevem um círculo no plano xy com raio 1, já que cos^2 t + sin^2 t = 1. Então, se ignorarmos a terceira componente por um momento, a curva seria apenas um círculo no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos incluir a terceira componente, que é 12 t. Essa parte adiciona uma variação no eixo z conforme t varia. Isso significa que, à medida que t aumenta, o ponto na curva também se move para cima (se t aumenta positivamente) ou para baixo (se t diminui).

Passo 4

Juntando tudo, a curva beta(t) = (cos t, sin t, 12 t) representa uma hélice cilíndrica. Imagine um fio enrolado em volta de um cilindro, subindo ou descendo continuamente. Nesse caso, como o coeficiente de t na componente z é 12, a hélice sobe meio “passo” do cilindro para cada volta completa no círculo.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, podemos seguir esses passos:
  1. Desenhe o eixo z verticalmente.
  2. No plano xy, desenhe um círculo de raio 1.
  3. À medida que o círculo é percorrido com o aumento de t, mova o ponto ligeiramente para cima ou para baixo no eixo z, de acordo com 12 t.
  4. Repita esse movimento para várias voltas, formando a hélice.

Resposta

O gráfico da curva beta(t) = (cos t, sin t, 12 t) é uma hélice cilíndrica que enrola em torno do cilindro unitário no plano xy, subindo continuamente no eixo z à medida que t aumenta. Ela se assemelha a um fio espiralado que dá voltas no cilindro enquanto avança para cima.

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