Esboce o gráfico das curvas.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida por
, onde
pode ser qualquer número real. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas
e
se comportam, além de como a componente
afeta a curva no eixo z.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas primeiras componentes da curva:
e
. Essas funções descrevem um círculo no plano xy com raio 1, já que
. Então, se ignorarmos a terceira componente por um momento, a curva seria apenas um círculo no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos incluir a terceira componente, que é
. Essa parte adiciona uma variação no eixo z conforme
varia. Isso significa que, à medida que
aumenta, o ponto na curva também se move para cima (se
aumenta positivamente) ou para baixo (se
diminui).
Passo 4
Juntando tudo, a curva
representa uma hélice cilíndrica. Imagine um fio enrolado em volta de um cilindro, subindo ou descendo continuamente. Nesse caso, como o coeficiente de
na componente z é
, a hélice sobe meio “passo” do cilindro para cada volta completa no círculo.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, podemos seguir esses passos:
- Desenhe o eixo z verticalmente.
- No plano xy, desenhe um círculo de raio 1.
- À medida que o círculo é percorrido com o aumento de
, mova o ponto ligeiramente para cima ou para baixo no eixo z, de acordo com . - Repita esse movimento para várias voltas, formando a hélice.
Resposta
O gráfico da curva
é uma hélice cilíndrica que enrola em torno do cilindro unitário no plano xy, subindo continuamente no eixo z à medida que
aumenta. Ela se assemelha a um fio espiralado que dá voltas no cilindro enquanto avança para cima.