Seja a in(0,1). Determine r>0 de modo que (a-r, a+r) subset(0,1).

Passo 1

O problema diz que temos um ponto a no intervalo (0,1) e precisamos achar um raio r>0 tal que a vizinhança aberta
(a-r,;a+r)
fique inteiramente contida em (0,1). O que usamos aqui é a noção de inclusão de intervalos: dizer que (a-r,a+r)subset(0,1) equivale a impor duas desigualdades.

Passo 2

Para ter (a-r,a+r)subset(0,1) precisamos garantir que nenhum ponto de (a-r,a+r) caia fora de (0,1). Isso dá as condições
a - r >= 0 e a + r <= 1

Passo 3

Das desigualdades
a - r >= 0 implies r <= a, a + r <= 1 implies r <= 1 - a,
concluímos que
0 < r <= mina,;1-a

Resposta

Podemos escolher
r = mina,,1 - a,
pois esse valor é positivo e satisfaz (a-r,a+r)subset(0,1).

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