Esboce o gráfico das curvas polares abaixo:
r=2 \cos (2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da curva polar dada por \;r=2\cos(2\theta)\;.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\;r(\theta)=2\cos(2\theta)\; para \theta no intervalo padrão [0,2\pi) (ou qualquer intervalo de comprimento 2\pi).
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano polar, indicando onde ela cruza a origem, onde estão os “pétalos” e a distância máxima do polo (origem).

Passo 2

Período e comportamento trigonométrico: a função \cos(2\theta) tem período \pi porque \cos(2(\theta+\pi))=\cos(2\theta+2\pi)=\cos(2\theta). Logo \;r(\theta) se repete a cada \pi. Isso já sugere simetria: a curva vai se repetir duas vezes quando \theta percorre 0 a 2\pi.

Passo 3

Encontremos os zeros (pontos onde a curva passa pela origem). Zeros ocorrem quando \;r=0, ou seja quando \cos(2\theta)=0. Resolve-se:
\cos(2\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\; k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [0,2\pi) esses valores são
\theta=\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{7\pi}{4}.
Ou seja, a curva cruza a origem em ângulos \pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4 e 7\pi/4.

Passo 4

Encontremos máximos e mínimos de r. Temos \cos(2\theta)=1 para 2\theta=2k\pi\Rightarrow\theta=k\pi. Nesses pontos
r=2\cos(2\theta)=2.
Temos \cos(2\theta)=-1 para 2\theta=(2k+1)\pi\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi. Nesses pontos
r=2\cos(2\theta)=-2.
Lembre: um valor negativo de r em coordenadas polares significa que o ponto de coordenada (r,\theta) coincide com (|r|,\theta+\pi). Portanto \;r=-2 em \theta=\pi/2 corresponde ao ponto com r=2 e ângulo \theta=3\pi/2.

Passo 5

Localização dos vértices (pontas) das pétalas em coordenadas cartesianas: use x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
  • Para \theta=0: r=2. Então o vértice é (x,y)=(2,0).
  • Para \theta=\pi: r=2. Então o vértice é (x,y)=(-2,0).
  • Para \theta=\pi/2: r=-2 que equivale a (r=2,\theta=3\pi/2) -> vértice (0,-2).
  • Para \theta=3\pi/2: r=-2 que equivale a (r=2,\theta=\pi/2) -> vértice (0,2).
Portanto os vértices das pétalas estão em (\pm 2,0) e (0,\pm 2).

Passo 6

Número de pétalas e orientação: como a forma é r=a\cos(n\theta) com n=2 (n par), a curva produz 2n=4 pétalas. Já vimos que as quatro pétalas estão alinhadas com os eixos coordenados (eixo x e eixo y), com ponta a distância 2 do polo.

Passo 7

Descrevendo uma pétala (comportamento em um intervalo de \theta) — como desenhar passo a passo: escolha a pétala do primeiro quadrante. Considere \theta\in[-\pi/4,\pi/4].
  • Em \theta=-\pi/4 tem-se r=0 (origem).
  • Em \theta=0 tem-se r=2 (vértice em (2,0)).
  • Em \theta=\pi/4 tem-se r=0 novamente (origem).
    Isso mostra que, conforme \theta vai de -\pi/4 a \pi/4, a curva parte da origem, abre até atingir r=2 em \theta=0 e volta à origem: é um laço (pétala) no primeiro quadrante. Um ponto intermediário útil é \theta=\pi/8:
r\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx1{,}414.
Coordenadas desse ponto: x=\sqrt{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right), y=\sqrt{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{8}\right) — serve para posicionar a curva entre origem e vértice.

Passo 8

As outras pétalas: por simetria (periodicidade e paridade do cosseno) as pétalas seguintes aparecem nos outros quadrantes, fechando os quatro laços. Mais explicitamente:
  • Entre \pi/4 e 3\pi/4 a função tem r\le 0; os valores negativos geram a pétala no quarto quadrante (devido ao acréscimo de \pi no ângulo quando r é negativo).
  • Entre 3\pi/4 e 5\pi/4 forma-se a pétala no segundo quadrante/negativo do x (vértice em (-2,0)).
  • Entre 5\pi/4 e 7\pi/4 forma-se a pétala no terceiro/quarto seguindo a mesma lógica.
    Em resumo: há quatro pétalas idênticas espaçadas a cada \pi/2 (90°).

Passo 9

Dica prática para esboçar no papel (passo-a-passo de desenho):
  1. Desenhe os eixos cartesianos e marque os pontos (2,0), (-2,0), (0,2), (0,-2).
  2. Marque os ângulos \theta=\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4 (linhas a 45°, 135°, 225°, 315°) — nesses ângulos a curva passa pela origem.
  3. No sector entre -\pi/4 e \pi/4 desenhe um laço que sai da origem, atinge (2,0) e volta à origem passando por um ponto intermediário como \theta=\pm\pi/8 com r=\sqrt{2}.
  4. Repita o mesmo laço rotacionando de 90° para obter as outras três pétalas (ou use o fato das interseções na origem para fechar os laços).
  5. Suavize curvas; não há cuspides, apenas laços suaves.

Passo 10

Se quiser confirmar a simetria por coordenadas cartesianas: use \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;r^2=x^2+y^2\; e a identidade \cos(2\theta)=\dfrac{x^2-y^2}{r^2}. Substituindo em r=2\cos(2\theta) obtém-se
r=\;2\frac{x^2-y^2}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad (x^2+y^2)^{3/2}=2(x^2-y^2),
o que mostra explicitamente a simetria em x e em y (trocar y por -y não altera a equação), compatível com as pétalas ao longo dos eixos.

Resposta

Quatro pétalas (rosa) simétricas, de comprimento máximo 2, alinhadas com os eixos coordenados; a curva cruza a origem em \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4} e tem vértices em (2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2).

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