Esboce o gráfico das curvas polares abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da curva polar dada por
.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
para
no intervalo padrão
(ou qualquer intervalo de comprimento
).
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano polar, indicando onde ela cruza a origem, onde estão os “pétalos” e a distância máxima do polo (origem).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano polar, indicando onde ela cruza a origem, onde estão os “pétalos” e a distância máxima do polo (origem).
Passo 2
Período e comportamento trigonométrico: a função
tem período
porque
. Logo
se repete a cada
. Isso já sugere simetria: a curva vai se repetir duas vezes quando
percorre
a
.
Passo 3
Encontremos os zeros (pontos onde a curva passa pela origem). Zeros ocorrem quando
, ou seja quando
. Resolve-se:
No intervalo
esses valores são
Ou seja, a curva cruza a origem em ângulos
,
,
e
.
Passo 4
Encontremos máximos e mínimos de
. Temos
para
. Nesses pontos
Temos
para
. Nesses pontos
Lembre: um valor negativo de
em coordenadas polares significa que o ponto de coordenada
coincide com
. Portanto
em
corresponde ao ponto com
e ângulo
.
Passo 5
Localização dos vértices (pontas) das pétalas em coordenadas cartesianas: use
.
- Para
: . Então o vértice é . - Para
: . Então o vértice é . - Para
: que equivale a -> vértice . - Para
: que equivale a -> vértice .
Portanto os vértices das pétalas estão em
e
.
Passo 6
Número de pétalas e orientação: como a forma é
com
(n par), a curva produz
pétalas. Já vimos que as quatro pétalas estão alinhadas com os eixos coordenados (eixo
e eixo
), com ponta a distância
do polo.
Passo 7
Descrevendo uma pétala (comportamento em um intervalo de
) — como desenhar passo a passo: escolha a pétala do primeiro quadrante. Considere
.
- Em
tem-se (origem). - Em
tem-se (vértice em ). - Em
tem-se novamente (origem).
Isso mostra que, conformevai de a , a curva parte da origem, abre até atingir em e volta à origem: é um laço (pétala) no primeiro quadrante. Um ponto intermediário útil é :
Coordenadas desse ponto:
,
— serve para posicionar a curva entre origem e vértice.
Passo 8
As outras pétalas: por simetria (periodicidade e paridade do cosseno) as pétalas seguintes aparecem nos outros quadrantes, fechando os quatro laços. Mais explicitamente:
- Entre
e a função tem ; os valores negativos geram a pétala no quarto quadrante (devido ao acréscimo de no ângulo quando é negativo). - Entre
e forma-se a pétala no segundo quadrante/negativo do (vértice em ). - Entre
e forma-se a pétala no terceiro/quarto seguindo a mesma lógica.
Em resumo: há quatro pétalas idênticas espaçadas a cada(90°).
Passo 9
Dica prática para esboçar no papel (passo-a-passo de desenho):
- Desenhe os eixos cartesianos e marque os pontos
, , , . - Marque os ângulos
(linhas a 45°, 135°, 225°, 315°) — nesses ângulos a curva passa pela origem. - No sector entre
e desenhe um laço que sai da origem, atinge e volta à origem passando por um ponto intermediário como com . - Repita o mesmo laço rotacionando de 90° para obter as outras três pétalas (ou use o fato das interseções na origem para fechar os laços).
- Suavize curvas; não há cuspides, apenas laços suaves.
Passo 10
Se quiser confirmar a simetria por coordenadas cartesianas: use
e a identidade
. Substituindo em
obtém-se
o que mostra explicitamente a simetria em
e em
(trocar
por
não altera a equação), compatível com as pétalas ao longo dos eixos.
Resposta
Quatro pétalas (rosa) simétricas, de comprimento máximo
, alinhadas com os eixos coordenados; a curva cruza a origem em
e tem vértices em
.