Esboçe o gráfico e determine o conjunto domínio e Imagem das funções abaixo.
f(x)=lx^2+2 x+1, se x<1 5, se x=1 -x+5, se x>1

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função por partes
f(x)= x^2+2x+1, &se x<1, 5, &se x=1, -x+5, &se x>1,
determine o domínio e a imagem. O conteúdo envolvido é estudo de função por partes, curvas elementares (parábola e reta) e o conceito de domínio e imagem.

Passo 2

Para o domínio, basta observar que há uma regra para todo x<1, outra em x=1 e outra para todo x>1. Portanto todos os reais estão cobertos e
Dom(f)=R

Passo 3

Analisando a parte x<1:
f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2
É uma parábola com vértice em (-1,0). Marcamos esse ramo só até, mas não incluindo, x=1. No ponto (1,4) colocamos um círculo aberto, pois quando xto1^- temos f(x)to4, mas em x=1 não usamos essa fórmula.

Passo 4

Em x=1 a função vale exatamente
f(1)=5,
ou seja, um ponto isolado marcado com círculo preenchido em (1,5).

Passo 5

Para x>1 temos
f(x)=-x+5,
que é uma reta decrescente com intercepto em y=5. Em x=1 essa reta daria y=4, mas como só vale para x>1 deixamos (1,4) com círculo aberto e desenhamos a reta para a direita desse ponto.

Passo 6

Agora a imagem.
  • Na parábola (x+1)^2, para x<1, o valor mínimo é 0 (em x=-1) e cresce até +infty, logo [0,infty).
  • O ponto isolado é 5, mas já está em [0,infty).
  • Na reta -x+5, para x>1, quando xto1^+ temos f(x)to4 (não incluso) e quando xto+infty temos f(x)to-infty, gerando (-infty,4).
    Unindo tudo:
(-infty,4),cup,[0,infty);=;(-infty,infty)=R

Resposta

Domínio: R
Imagem: R

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