ointC F cdot d r, onde F(x, y)=(4 x^2-5 y, 5 x y+raizy^2+1), e C é a circunferência (x-2)^2+ y^2=4, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
ointCFcdot dr,
onde F(x,y)=(4x^2-5y,;5xy+raizy^2+1) e C é a circunferência centrada em (2,0) de raio 2, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha num integral dupla sobre a região D limitada por C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointCFcdot dr =integral duplaDl(partialpartial x(F2)-partialpartial y(F1)r),dA,
onde F1(x,y)=4x^2-5y e F2(x,y)=5xy+raizy^2+1.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
partialpartial x(F2) =partialpartial xl(5xy+raizy^2+1r) =5y,
partialpartial y(F1) =partialpartial yl(4x^2-5yr) =-5
Logo o integrando é
5y - (-5) = 5y + 5

Passo 4

Temos então
ointCFcdot dr =integral duplaD(5y+5),dA =5integral duplaDy,dA ;+;5integral duplaD1,dA

Passo 5

A região D é o disco de raio 2 centrado em (2,0).
  1. Pelo equilíbrio simétrico em y,
integral duplaDy,dA = 0
  1. A área de D é picdot2^2=4pi, então
integral duplaD1,dA = 4pi
Portanto
5cdot0 + 5cdot4pi = 20pi

Resposta

20pi

Exercícios relacionados