Esboçe o gráfico e determine o conjunto domínio e Imagem das funções abaixo.
Passo 1
Resumindo, temos a função por partes
f(x)= 3x+4, & x<2, 7, & x=2, -x^2+8, & x>2
O objetivo é esboçar o gráfico, achar o domínio e a imagem. O conteúdo é análise de função definida por partes.
Passo 2
O domínio é o conjunto de todos os x para os quais a função está definida. Como há definição para x<2, em x=2 e para x>2, temos
Dom(f)=(-infty,2)cup2cup(2,infty)=R
Passo 3
Para x<2 vale f(x)=3x+4, que é uma reta de inclinação 3. Ao desenhar, traçamos essa linha até xto2^-, onde
f(2^-)=3cdot2+4=10,
mas sem incluir o ponto (2,10) (círculo aberto). A imagem desse trecho é
(-infty,10)
Passo 4
Em x=2 a função vale
f(2)=7
No gráfico colocamos um ponto cheio em (2,7). Esse valor já está em (-infty,10), então não altera a amplitude da imagem, apenas marca esse ponto.
Passo 5
Para x>2 vale f(x)=-x^2+8, uma parábola voltada para baixo. Ao aproximar de 2 pela direita,
f(2^+)=4,
sem incluir o ponto (2,4) (círculo aberto). À medida que xtoinfty, f(x)to-infty. A imagem deste trecho é
(-infty,4)
Passo 6
A imagem total é a união das imagens de cada trecho. Unindo (-infty,10), o ponto isolado 7 (já contido em (-infty,10)) e (-infty,4), vemos que todos os valores abaixo de 10 aparecem, mas 10 não. Portanto