Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
, além de determinar o domínio e a imagem dela. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo, o que está dentro do logaritmo deve ser positivo. Então, vamos resolver a inequação:
Resolvendo:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que
. Em notação matemática:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
. A função logarítmica básica
tem imagem em todos os números reais, ou seja,
.
No nosso caso, temos
. O sinal negativo na frente do logaritmo reflete o gráfico em relação ao eixo
. Mas isso não restringe os valores que
pode assumir. Portanto, a imagem também será todos os números reais:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função
.
-
Transformação Horizontal: A função
é o logaritmo básico deslocado 2 unidades para a esquerda. Isso porque substituímos por . -
Reflexão Vertical: O sinal negativo na frente do logaritmo reflete o gráfico em relação ao eixo
. Assim, ao invés de crescer para a direita, ele cresce para a esquerda. -
Pontos Importantes:
- Quando
se aproxima de pela direita ( ), tende a , então tende a . - Quando
, . - Conforme
aumenta, aumenta, então diminui.
- Quando
-
Assíntota Vertical: Existe uma assíntota vertical em
, pois a função não está definida para .
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico que se assemelha a uma função logarítmica padrão, mas deslocada e refletida conforme descrito.
Resposta
A função
tem domínio
e imagem
. O gráfico é uma parábola logarítmica deslocada 2 unidades para a esquerda e refletida em relação ao eixo
.