Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(d) f(x) = -log(x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função , além de determinar o domínio e a imagem dela. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo, o que está dentro do logaritmo deve ser positivo. Então, vamos resolver a inequação:
Resolvendo:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que . Em notação matemática:

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de . A função logarítmica básica tem imagem em todos os números reais, ou seja, .
No nosso caso, temos . O sinal negativo na frente do logaritmo reflete o gráfico em relação ao eixo . Mas isso não restringe os valores que pode assumir. Portanto, a imagem também será todos os números reais:

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função .
  1. Transformação Horizontal: A função é o logaritmo básico deslocado 2 unidades para a esquerda. Isso porque substituímos por .
  2. Reflexão Vertical: O sinal negativo na frente do logaritmo reflete o gráfico em relação ao eixo . Assim, ao invés de crescer para a direita, ele cresce para a esquerda.
  3. Pontos Importantes:
    • Quando se aproxima de pela direita ( ), tende a , então tende a .
    • Quando , .
    • Conforme aumenta, aumenta, então diminui.
  4. Assíntota Vertical: Existe uma assíntota vertical em , pois a função não está definida para .
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico que se assemelha a uma função logarítmica padrão, mas deslocada e refletida conforme descrito.

Resposta

A função tem domínio e imagem . O gráfico é uma parábola logarítmica deslocada 2 unidades para a esquerda e refletida em relação ao eixo .

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