Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguintes funçöes:
f(x)=(-2) \cos x

Passo 1

O enunciado pede para fazermos o esboço do gráfico de
f(x) = -2\cos x
e determinar o domínio, a imagem (conjunto‐alvo) e o período. O conteúdo é análise de funções trigonométricas periódicas, em particular variações de amplitude e reflexão do cosseno.

Passo 2

A função \cos x está definida para todo x\in\mathbb{R}. Multiplicar por -2 não cria restrição extra, logo o domínio de
f(x)=-2\cos x
é
(-\infty,\infty).

Passo 3

Sabemos que
\cos x\in[-1,1].
Multiplicando esse intervalo por -2 inverte a ordem e estica em 2 vezes, dando
[-2,2].
Portanto, a imagem de f é
[-2,2].

Passo 4

O cosseno tem período 2\pi. Como não há escala em x (o argumento é simplesmente x), o fator -2 não altera o período. Assim, o período de f é 2\pi.

Passo 5

Para esboçar, basta lembrar que a curva de \cos x começa em 1 e decai até -1 em \pi, mas aqui há reflexão vertical e amplitude 2. Alguns pontos-chave: f(0)=-2\cos0=-2, f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-2\cos\!\tfrac{\pi}{2}=0, f(\pi)=-2\cos\pi=2, f\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0, f(2\pi)=-2.
Entre esses pontos a curva é suave e periódica de período 2\pi, invertida em relação à curva de \cos x.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [-2,2]
Período: 2\pi

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