Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguintes funçöes:
f(x)=1+|\cos x|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x) = 1 + |\cos x|
e determinar o domínio, a imagem e o período. O conteúdo envolve funções trigonométricas, valor absoluto e conceito de período de uma função periódica.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde \cos x está definido. Como \cos x está definido para todo x\in\mathbb{R}, concluímos
\text{Domínio}(f) = \mathbb{R}.í

Passo 3

Para a imagem, lembramos que
\cos x\in[-1,1]\quad\Longrightarrow\quad|\cos x|\in[0,1].
Logo
f(x)=1+|\cos x|\in[1+0,\;1+1]=[1,2].

Passo 4

O período de \cos x é 2\pi, mas como
|\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x|,
a parte |\cos x| se repete a cada \pi. Assim o menor período de f(x) é
T = \pi.

Passo 5

Esboço do gráfico:
Em cada intervalo de comprimento \pi, f(x) faz um “arco” que começa em um máximo f(k\pi)=1+|\cos(k\pi)|=2, desce até o mínimo f\bigl(k\pi+\tfrac\pi2\bigr)=1+|\cos(\tfrac\pi2)|=1 e volta ao máximo em x=(k+1)\pi. Repete-se esse padrão para todo k\in\mathbb{Z}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [1,2]
Período: \pi

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