Escalone: \left\{\begin{array}{l}x+y+z=3 \\\\ 2 x-y+z=2 \\\ x+2 y-z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 3,\\\\ 2x - y + z = 2,\\\ x + 2y - z = 1, \end{cases}
e pede para escaloná-lo usando o método de eliminação de Gauss. Vamos representar o sistema como matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha para obter a forma escalonada.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\, \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 2 & -1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{array} \right]

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo do pivô 1 da primeira coluna.
Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso transforma a matriz em
\left[\, \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -3 & -1 & -4\\\\ 0 & 1 & -2 & -2 \end{array} \right]

Passo 4

Agora o pivô da segunda linha é -3 na coluna 2. Zeramos a entrada abaixo dele aplicando
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{1}{3}R_2.
A linha 3 fica
(0,\;1,\;-2,\;-2) + \tfrac{1}{3}(0,\;-3,\;-1,\;-4) = (0,\;0,\;-\tfrac{7}{3},\;-\tfrac{10}{3}).
Logo a matriz torna-se
\left[\, \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -3 & -1 & -4\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{10}{3} \end{array} \right]

Passo 5

A forma escalonada corresponde ao sistema triangular
\begin{cases} x + y + z = 3,\\\\ -3y - z = -4,\\\\ -\tfrac{7}{3}z = -\tfrac{10}{3}. \end{cases}

Resposta

A forma escalonada do sistema é
\left[\, \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -3 & -1 & -4\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{10}{3} \end{array} \right].

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