Esboce o gráfico das elipses:
9(x-3)^{2}+16(y-2)^{2}=144

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
9(x-3)^{2}+16(y-2)^{2}=144.
Informações que o enunciado dá (explicitamente):
  • A equação da curva é \;9(x-3)^{2}+16(y-2)^{2}=144.
    O que é pedido:
  • Fazer um esboço (ou seja: identificar a forma básica da elipse, seu centro, eixos principais, vértices, focos e pontos úteis para desenhar).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de elipse centrada em (h,k). Divido ambos os lados por 144:
\frac{9(x-3)^{2}}{144}+\frac{16(y-2)^{2}}{144}=1.
Simplificando os fatores:
\frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1.
Comentário didático: a forma padrão de uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde (h,k) é o centro, a e b são os semi-eixos (comprimentos positivos). A comparação direta com a nossa expressão permite identificar os parâmetros. Sempre divida pelo lado direito para obter 1 e facilitar a leitura dos quadrados dos semi-eixos.

Passo 3

Identificar o centro e os quadrados dos semi-eixos:
  • Centro: (h,k)=(3,2) (porque aparecem (x-3) e (y-2)).
  • Comparando com a forma padrão, temos \;a^{2}=16 (por estar sob (x-3)^{2}) e \;b^{2}=9 (por estar sob (y-2)^{2}).
Didática: quando a divisão deu \dfrac{(x-h)^{2}}{16}+\dfrac{(y-k)^{2}}{9}=1, os denominadores 16 e 9 são a^{2} e b^{2}. O termo com o denominador maior corresponde ao semi-eixo maior a (no eixo correspondente).

Passo 4

Obter a e b, e determinar a orientação:
a=\sqrt{16}=4,\qquad b=\sqrt{9}=3.
Como a^{2}=16>9=b^{2} e a^{2} está sob o termo em x, o semi-eixo maior está na direção horizontal. Portanto:
  • semi-eixo maior: a=4 ao longo do eixo horizontal (direção de x);
  • semi-eixo menor: b=3 ao longo do eixo vertical (direção de y).
Didática: se o maior denominador estiver em \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}} então a elipse é “esticada” horizontalmente; se o maior estiver em \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}} seria esticada verticalmente.

Passo 5

Calcular vértices e co-vértices (pontos que ajudam a esboçar):
  • Vértices (extremos do eixo maior, horizontais): (h\pm a,\;k)=(3\pm4,\,2). Ou seja: (-1,\,2)\quad\text{e}\quad(7,\,2).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor, verticais): (h,\;k\pm b)=(3,\,2\pm3). Ou seja: (3,\,-1)\quad\text{e}\quad(3,\,5).
Didática: os vértices ficam a distância a do centro ao longo do eixo maior; os co-vértices ficam a distância b ao longo do eixo menor.

Passo 6

Calcular os focos (úteis para entender a geometria da elipse). Para elipses alinhadas com os eixos:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}.
Como a elipse é horizontal, os focos ficam em (h\pm c,\;k), ou seja:
\bigl(3\pm\sqrt{7},\;2\bigr).
Aproximação útil para desenho: \sqrt{7}\approx2,6458, então os focos são aproximadamente (0,3542,\,2) e (5,6458,\,2). (usar vírgula decimal conforme hábito local)
Didática: c mede a distância do centro até cada foco; satisfa-se sempre c^{2}=a^{2}-b^{2} para elipses.

Passo 7

Encontrar interceptos com os eixos (pontos onde a elipse cruza os eixos coordenados), para desenhar mais pontos:
  • Interceptos com o eixo x (colocar y=0 na equação original):
9(x-3)^{2}+16(0-2)^{2}=144
9(x-3)^{2}+64=144\quad\Rightarrow\quad 9(x-3)^{2}=80
(x-3)^{2}=\frac{80}{9}\quad\Rightarrow\quad x=3\pm\frac{4\sqrt{5}}{3}.
Aproximações: \dfrac{4\sqrt{5}}{3}\approx2,981, então os interceptos em x são aproximadamente
x\approx0{,}019\quad\text{e}\quad x\approx5{,}981,
ou seja os pontos (0{,}019,\,0) e (5{,}981,\,0).
  • Interceptos com o eixo y (colocar x=0):
9(0-3)^{2}+16(y-2)^{2}=144
81+16(y-2)^{2}=144\quad\Rightarrow\quad16(y-2)^{2}=63
(y-2)^{2}=\frac{63}{16}\quad\Rightarrow\quad y=2\pm\frac{3\sqrt{7}}{4}.
Aproximações: \dfrac{3\sqrt{7}}{4}\approx1{,}9843, então os interceptos em y são aproximadamente
y\approx0{,}0157\quad\text{e}\quad y\approx3{,}9843,
ou seja (0,\,0{,}0157) não é correto — atenção: os interceptos em y são (0,\,y) quando x=0, então os pontos são (0,\,0{,}0157) e (0,\,3{,}9843).
Didática: esses interceptos não coincidem com os vértices em geral; são apenas pontos adicionais que mostram onde a elipse cruza os eixos coordenados.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
  1. Desenhe os eixos cartesianos e marque o centro em (3,2).
  2. A partir do centro, marque os vértices horizontais em (-1,2) e (7,2).
  3. Marque os co-vértices verticais em (3,-1) e (3,5).
  4. Marque também os focos (3\pm\sqrt{7},2) se quiser indicar a posição dos focos.
  5. Desenhe uma curva suave passando pelos vértices e “encostando” nos co-vértices, formando uma elipse simétrica em relação aos dois eixos que passam pelo centro.
  6. Opcional: marque os interceptos aproximados com os eixos para confirmar escala (valores do passo anterior).
    Dica de prova: basta desenhar os pontos essenciais (centro, vértices e co-vértices) e traçar uma curva simétrica; não é necessário traçar com precisão absoluta, mas mantenha as proporções relativas ( a=4 vs b=3).

Passo 9

Recapitulando os resultados importantes para anotar rapidamente na prova:
  • centro, semi-eixos, vértices, co-vértices e focos são os dados que permitem esboçar a elipse de forma correta e rápida. Não se assuste: marcar esses pontos já resolve a questão do esboço.

Resposta

Centro: (3,\,2)
Semi-eixos: a=4 (horizontal), b=3 (vertical)
Vértices: (-1,\,2) e (7,\,2)
Co-vértices: (3,\,-1) e (3,\,5)
Focos: \bigl(3\pm\sqrt{7},\,2\bigr) (aprox. (0{,}3542,\,2) e (5{,}6458,\,2))
Interceptos com os eixos (aprox.): x\approx0{,}019 e x\approx5{,}981; y\approx0{,}0157 e y\approx3{,}9843

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