Esboce o gráfico das elipses:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
Informações que o enunciado dá (explicitamente):
- A equação da curva é
.
O que é pedido: - Fazer um esboço (ou seja: identificar a forma básica da elipse, seu centro, eixos principais, vértices, focos e pontos úteis para desenhar).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de elipse centrada em
. Divido ambos os lados por
:
Simplificando os fatores:
Comentário didático: a forma padrão de uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados é
onde
é o centro,
e
são os semi-eixos (comprimentos positivos). A comparação direta com a nossa expressão permite identificar os parâmetros. Sempre divida pelo lado direito para obter 1 e facilitar a leitura dos quadrados dos semi-eixos.
Passo 3
Identificar o centro e os quadrados dos semi-eixos:
- Centro:
(porque aparecem e ). - Comparando com a forma padrão, temos
(por estar sob ) e (por estar sob ).
Didática: quando a divisão deu
, os denominadores
e
são
e
. O termo com o denominador maior corresponde ao semi-eixo maior
(no eixo correspondente).
Passo 4
Obter
e
, e determinar a orientação:
Como
e
está sob o termo em
, o semi-eixo maior está na direção horizontal. Portanto:
- semi-eixo maior:
ao longo do eixo horizontal (direção de ); - semi-eixo menor:
ao longo do eixo vertical (direção de ).
Didática: se o maior denominador estiver em
então a elipse é “esticada” horizontalmente; se o maior estiver em
seria esticada verticalmente.
Passo 5
Calcular vértices e co-vértices (pontos que ajudam a esboçar):
- Vértices (extremos do eixo maior, horizontais):
. Ou seja: - Co-vértices (extremos do eixo menor, verticais):
. Ou seja:
Didática: os vértices ficam a distância
do centro ao longo do eixo maior; os co-vértices ficam a distância
ao longo do eixo menor.
Passo 6
Calcular os focos (úteis para entender a geometria da elipse). Para elipses alinhadas com os eixos:
Como a elipse é horizontal, os focos ficam em
, ou seja:
Aproximação útil para desenho:
, então os focos são aproximadamente
e
. (usar vírgula decimal conforme hábito local)
Didática:
mede a distância do centro até cada foco; satisfa-se sempre
para elipses.
Passo 7
Encontrar interceptos com os eixos (pontos onde a elipse cruza os eixos coordenados), para desenhar mais pontos:
- Interceptos com o eixo
(colocar na equação original):
Aproximações:
, então os interceptos em
são aproximadamente
ou seja os pontos
e
.
- Interceptos com o eixo
(colocar ):
Aproximações:
, então os interceptos em
são aproximadamente
ou seja
não é correto — atenção: os interceptos em
são
quando
, então os pontos são
e
.
Didática: esses interceptos não coincidem com os vértices em geral; são apenas pontos adicionais que mostram onde a elipse cruza os eixos coordenados.
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
- Desenhe os eixos cartesianos e marque o centro em
. - A partir do centro, marque os vértices horizontais em
e . - Marque os co-vértices verticais em
e . - Marque também os focos
se quiser indicar a posição dos focos. - Desenhe uma curva suave passando pelos vértices e “encostando” nos co-vértices, formando uma elipse simétrica em relação aos dois eixos que passam pelo centro.
- Opcional: marque os interceptos aproximados com os eixos para confirmar escala (valores do passo anterior).
Dica de prova: basta desenhar os pontos essenciais (centro, vértices e co-vértices) e traçar uma curva simétrica; não é necessário traçar com precisão absoluta, mas mantenha as proporções relativas (vs ).
Passo 9
Recapitulando os resultados importantes para anotar rapidamente na prova:
- centro, semi-eixos, vértices, co-vértices e focos são os dados que permitem esboçar a elipse de forma correta e rápida. Não se assuste: marcar esses pontos já resolve a questão do esboço.
Resposta
Centro:
Semi-eixos: (horizontal),
(vertical)
Vértices: e
Co-vértices: e
Focos: (aprox.
e
)
Interceptos com os eixos (aprox.): e
;
e
Semi-eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Interceptos com os eixos (aprox.):